Об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции g(x) яв­ля­ет­ся мно­же­ство всех дей­стви­тель­ных чисел. Функ­ция g(x)  — не­чет­ная, тогда

по­это­му для по­стро­е­ния ее гра­фи­ка на от­рез­ке до­ста­точ­но по­стро­ить гра­фик на от­рез­ке и по­лу­чен­ную линию цен­траль­но­сим­мет­рич­но отоб­ра­зить от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Функ­ция g(x) диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на ℝ, ее про­из­вод­ная при­мет вид:

тогда при и −1 и 1  — кри­ти­че­ские точки функ­ции. Тогда при по­это­му при таких x функ­ция g(x) воз­рас­та­ет; при и при при этих x функ­ция g(x) убы­ва­ет. В кри­ти­че­ской точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, по­сколь­ку про­из­вод­ная функ­ции в этой точке ме­ня­ет знак с плюса на минус. Ана­ло­гич­но точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма. По­сколь­ку при всех x, то при всех по­ло­жи­тель­ных x; при

При по­мо­щи мик­ро­каль­ку­ля­то­ра на­хо­дим при­бли­жен­ные зна­че­ния функ­ции в не­ко­то­рых кон­троль­ных точ­ках. Так, и Для более точ­но­го по­стро­е­ния гра­фи­ка можно вы­брать еще не­сколь­ко точек. Окон­ча­тель­ный вид гра­фи­ка при­ве­ден на ри­сун­ке.

За­ме­ча­ние.

1)  Мы не пол­но­стью сле­до­ва­ли схеме ис­сле­до­ва­ния функ­ции (см., на­при­мер, учеб­ник «Ал­геб­ра и на­ча­ла ана­ли­за 10  — 11» под ред. А. Н. Кол­мо­го­ро­ва, 1990, §6, п. 24), учи­ты­вая ее ре­ко­мен­да­тель­ный ха­рак­тер. Тем не менее счи­та­ем, что пол­но­та ис­сле­до­ва­ния функ­ции долж­на быть такой, чтобы вы­яв­ля­лись наи­бо­лее ха­рак­тер­ные мо­мен­ты по­ве­де­ния гра­фи­ка функ­ции (мо­но­тон­ность, экс­тре­му­мы, ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и т. п.).

2)  При­во­дом окон­ча­тель­ную свод­ку ис­сле­до­ва­ния функ­ции без ком­мен­та­ри­ев.

— функ­ция рас­смат­ри­ва­ет­ся н опре­де­ле­на при всех

— функ­ция не­чет­ная;

— функ­ция не­пре­рыв­на на

— функ­ция воз­рас­та­ет на убы­ва­ет на и на

— при функ­ция при функ­ция при функ­ция

— точки экс­тре­му­ма функ­ции: −1  — точка ми­ни­му­ма, 1  — точка мак­си­му­ма.