Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3232
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в кубе , y=x плюс 4 и y=5x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зив схе­ма­ти­че­ски гра­фи­ки дан­ных функ­ций (см. рис.), най­дем абс­цис­сы точек A и B. Точка A яв­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ни­ем гра­фи­ков функ­ций y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в кубе и y=x плюс 4, т. е.  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в кубе =x плюс 4. По ри­сун­ку на­хо­дим ре­ше­ние этого урав­не­ния: x= минус 2. Про­ве­рим:  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = минус 2 плюс 4   — вер­ное ра­вен­ство. Можно также это урав­не­ние ре­шить сле­ду­ю­щим об­ра­зом

 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в кубе =x плюс 4 рав­но­силь­но x в кубе плюс 4x плюс 16=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x в кубе плюс 8 плюс 4x плюс 8= левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x в кубе плюс 4x плюс 16=0 рав­но­силь­но x= минус 2.

Точка B яв­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ни­ем пря­мых y=x плюс 4 и y=5x, т. е. x плюс 4=5x или x=1. Ис­ко­мую пло­щадь S вы­чис­лим как сумму пло­ща­дей тре­уголь­ни­ка ODB и кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции AOD. Най­дем

S_ODB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби OD умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 умно­жить на 1=2

и

 S_AOD = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 4x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби x в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 2 до 0, = 5.

Ис­ко­мая пло­щадь S=S_OBD плюс S_AOD=2 плюс 5=7.

 

Ответ: 7 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3226

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 5 из 10