Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3149

Определите промежутки убывания функции y=|x минус x в кубе |.

Спрятать решение

Решение.

Приведём функцию к виду f(x)=\absx минус x в кубе =\absx(1 минус x в квадрате )=\absx(1 минус x)(1 плюс x). Исследуя знаки выражения x(1 минус x)(1 плюс x) с помощью метода интервалов, получим что оно положительно при x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 1)\cup(0;1) и отрицательно при x принадлежит ( минус 1;0)\cup(1; принадлежит fty). Кроме того, f( минус x)=\abs минус x минус ( минус x) в кубе =\abs минус x плюс x в кубе =\abs минус (x минус x в кубе )=\absx минус x в кубе =f(x), поэтому f(x) — четная функция и можно изучать ее поведение только при x больше или равно 0 и мысленно отразить график относительно вертикальной оси.

При x принадлежит [0;1] получим f(x)=x минус x в кубе , производная f'(x)=1 минус 3x в квадрате =3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x в квадрате правая круглая скобка =3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби минус x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби плюс x правая круглая скобка , что положительно на промежутке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби правая круглая скобка и отрицательно на промежутке  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби ;1 правая квадратная скобка .

При x принадлежит [1; принадлежит fty) получим f(x)=x в кубе минус x, производная f'(x)=3x в квадрате минус 1=3(x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби )=3(x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби )(x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби ), что положительно на всем рассматриваемом промежутке.

Следовательно функция возрастает на  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби правая квадратная скобка и на [1; плюс принадлежит fty) (и потому убывает на  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби ;0 правая квадратная скобка и на ( минус принадлежит fty; минус 1]) и убывает на  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби ;1 правая квадратная скобка .

 

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 1],  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби ;0 правая квадратная скобка ,  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби ; 1 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3143

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 8, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 6 из 10