Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3137

Сколько корней имеет уравнение x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2=a при a больше 2.

Спрятать решение

Решение.

Исследуем функцию f(x)=x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2 на монотонность. Поскольку f'(x)=(x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2)'=3x в квадрате минус 6x=3x(x минус 2), что положительно при x меньше 0 и при x больше 2, но отрицательно при x принадлежит (0;2), исходная функция возрастает при x меньше или равно 0 и при x больше или равно 2, и убывает при x принадлежит [0;2]. При этом f(0)=2, f(2)= минус 2. Поэтому только на промежутке (2; плюс принадлежит fty) функция будет принимать значения, большие 2, причем примет их по одному разу. Значит, данное уравнение имеет одно решение при всех a больше 2.

 

Ответ: один корень.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3131

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 7, вариант 2
? Классификатор: Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 6 из 10