Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3135

Найдите все целые решения системы неравенств  система выражений 3 в степени (2x минус 6) меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 27, логарифм по основанию 3 (1 минус x) в квадрате меньше или равно 2. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Первое неравенство можно переписать в виде 3 в степени (2x минус 6) меньше 3 в степени ( минус 3) , то есть 2x минус 6 меньше минус 3 равносильно 2x меньше 3 равносильно x меньше 1,5. Второе неравенство можно переписать в виде  логарифм по основанию 3 (1 минус x) в квадрате меньше или равно логарифм по основанию 3 9, то есть 0 меньше (1 минус x) в квадрате меньше или равно 9. Первому неравенству из этих двух удовлетворяют x не равно 1, второе же сводится к

(x минус 1) в квадрате минус 9 меньше или равно 0 равносильно (x минус 1) в квадрате минус 3 в квадрате меньше или равно 0 равносильно (x минус 1 минус 3)(x минус 1 плюс 3) меньше или равно 0 равносильно (x минус 4)(x плюс 2) меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно 4.

Значит, во второе неравенство системы подходят целые числа  минус 2; минус 1;0;2;3;4. Из них в первое неравенство подходят  минус 2; минус 1;0

 

Ответ: x= минус 2, x= минус 1, x=0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3129

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 7, вариант 2
? Классификатор: Смешанные системы
?
Сложность: 4 из 10