Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3112
i

При каком зна­че­нии a функ­ция y=a на­ту­раль­ный ло­га­рифм x минус x в квад­ра­те плюс 3x имеет экс­тре­мум в точке x=2? Опре­де­ли­те, какой точ­кой экс­тре­му­ма яв­ля­ет­ся точка x=2 при най­де­ном зна­че­нии a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции в точке экс­тре­му­ма долж­на быть равна нулю. Так как

 левая круг­лая скоб­ка a на­ту­раль­ный ло­га­рифм x минус x в квад­ра­те плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка '=a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2x плюс 3,

то a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 умно­жить на 2 плюс 3=0, от­ку­да  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a минус 1=0, то есть a=2. Итак, y'= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2x плюс 3= дробь: чис­ли­тель: минус 2x в квад­ра­те плюс 3x плюс 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x конец дроби , что по­ло­жи­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка и от­ри­ца­тель­но при x боль­ше 2. По­это­му y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет при x боль­ше 2 и воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му x=2 яв­ля­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма.

 

Ответ: a=2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3106

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 5 из 10