РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3053

Найдите все значения действительного параметра a, при каждом из которых все четыре (возможно комплексных) корня уравнений $z в квадрате минус 6 = 0$ и

$z в квадрате плюс 2 левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка az минус 2a в квадрате i минус левая круглая скобка 3 минус i правая круглая скобка a минус 2i = 0$

различны и образуют параллелограмм (возможно ромб или прямоугольник) на комплексной плоскости.

Спрятать решение

Решение.

Корнями первого уравнения будут $z=\pm корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ Возможны два случая: найденные корни соответствуют противоположным вершинам параллелограмма или его смежным вершинам.

Случай 1. Это две противоположные вершины параллелограмма. Тогда точка пересечения его диагоналей имеет координату

$z= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =0,$

откуда и сумма корней второго уравнения равна нулю. Значит, $2 левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка a=0,$ откуда $a=0.$ Для найденного а второе получаем $z в квадрате минус 2i=0,$ корни которого комплексны и отличаются только знаком. Поэтому у четырехугольника, образованного корнями этих уравнений, диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, это параллелограмм.

Случай 2. Это две смежные вершины параллелограмма. Тогда длина стороны его равна $2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ Остальные два корня тоже смежные вершины, расстояние между ними такое же. Они будут концами параллельной стороны, причем вторая сторона вертикальна, то есть $Im левая круглая скобка z_1 правая круглая скобка =Im левая круглая скобка z_2 правая круглая скобка .$ Поскольку сумма корней равна $минус 2 левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка a$ и число a вещественное, мнимая часть корней равна $минус a.$ Запишем корни в виде $z=x минус ai$ и подставим в уравнение.

$x в квадрате минус 2xai минус a в квадрате плюс левая круглая скобка 2ia минус 2a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус ai правая круглая скобка минус 2a в квадрате i минус левая круглая скобка 3 минус i правая круглая скобка a минус 2i=0 равносильно$

$равносильно x в квадрате минус 2xai минус a в квадрате плюс 2iax минус 2ax плюс 2a в квадрате плюс 2a в квадрате i минус 2a в квадрате i минус 3a плюс ai минус 2i=0 равносильно$

$равносильно x в квадрате минус 2ax плюс a в квадрате минус 3a плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка i=0.$

Поскольку x вещественно, $левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка i=0,$ откуда $a=0.$

Ответ: a  =  0 и a  =  2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3047

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2008 год, вариант 2

? Классификатор: Параметр в задачах с комплексными числами

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь