Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3039

Решите неравенство (x минус 5) корень из (x минус 2) меньше или равно (x минус 5)(x минус 4).

Спрятать решение

Решение.

Обозначим  корень из (x минус 2) =t, причем t больше или равно 0, тогда x=t в квадрате плюс 2.

Неравенство примет вид

(t в квадрате плюс 2 минус 5)t меньше или равно (t в квадрате плюс 2 минус 5)(t в квадрате плюс 2 минус 4) равносильно (t в квадрате минус 3)t меньше или равно (t в квадрате минус 3)(t в квадрате минус 2) равносильно
 равносильно (t в квадрате минус 3)(t минус t в квадрате плюс 2) меньше или равно 0 равносильно (t в квадрате минус 3)(t в квадрате минус t минус 2) больше или равно 0 равносильно (t минус корень из (3) )(t плюс корень из (3) )(t минус 2)(t плюс 1) больше или равно 0.

Второй и четвертый множители положительны и не влияют на знак. Сократим их

(t минус корень из (3) )(t минус 2) больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно корень из (3) ,t больше или равно 2. конец совокупности .

Вернемся к исходной переменной, получим

 совокупность выражений корень из (x минус 2) меньше или равно корень из (3) , корень из (x минус 2) больше или равно 2 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x минус 2 меньше или равно 3,x минус 2 больше или равно 4, конец системы . x минус 2 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 меньше или равно x меньше или равно 5,x больше или равно 6. конец совокупности .

 

Ответ: [2;5]\cup [6; плюс принадлежит fty ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3016

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2007 год, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные неравенства
?
Сложность: 8 из 10