Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3037

Решите уравнение 2 тангенс в квадрате x минус 2 косинус в квадрате x минус 1=0.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку

 тангенс в квадрате x= дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби ,

можно обозначить  косинус в квадрате x=t, причем t принадлежит [ минус 1;1]. Запишем уравнение в виде

 дробь: числитель: 2(1 минус t), знаменатель: t конец дроби минус 2t минус 1=0 равносильно 2(1 минус t) минус 2t в квадрате минус t=0 равносильно

 равносильно 2 минус 2t минус 2t в квадрате минус t=0 равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно (t плюс 2)(2t минус 1)=0 равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset\textstyle минус 1 меньше или равно t меньше или равно 1\mathop равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Вернемся к исходной переменной, получим

 косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .

 

Ответ: x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3014

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2007 год, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10