Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2942

Существует ли касательная к графику функции y=x минус x в квадрате плюс 3|x|, имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, напишите ее уравнение.

Спрятать решение

Решение.

При y меньше 0 y= минус x в квадрате минус 2x, при x больше или равно 0 y= минус x в квадрате плюс 4x. Такая прямая должна либо касаться обеих парабол, либо касаться одной из них, а вторую пересекать ровно один раз. Второе произойти не могло.

В самом деле, если она касается y= минус x в квадрате минус 2x при x меньше минус 1, то ее угловой коэффициент положителен, поэтому она не могла войти сверху в область под второй половиной графика.

Если она касается y= минус x в квадрате плюс 4x при x больше 2, то аналогично ее угловой коэффициент отрицателен, поэтому она не могла прийти из области под первой половиной графика.

При x=0 касательной нет, при x=1 или x=2 она горизонтальна и имеет либо одну общую точку с графиком, либо три.

Наконец при x_0 принадлежит (0;2) ее уравнение имеет вид y=( минус 2x_0 плюс 4)(x минус x_0) минус x_0 в квадрате плюс 4x_0, y=( минус 2x_0 плюс 4)x плюс x_0 в квадрате . Значит, ее угловой коэффициент положителен, а точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты  левая круглая скобка дробь: числитель: x_0 в квадрате , знаменатель: 2x_0 минус 4 конец дроби ,0 правая круглая скобка и лежит потому левее начала координат, поэтому такая прямая тоже не могла прийти из области под первой половиной графика, не пересекая его выше оси.

Аналогично при x_0 принадлежит ( минус 1; 0) ее уравнение имеет вид y=( минус 2x_0 минус 2)(x минус x_0) минус x_0 в квадрате минус 2x_0, y=( минус 2x_0 минус 2)x плюс x_0 в квадрате . Значит, ее угловой коэффициент отрицателен, а точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты  левая круглая скобка дробь: числитель: x_0 в квадрате , знаменатель: 2x_0 плюс 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка и лежит потому правее начала координат, поэтому такая прямая тоже не могла прийти из области под второй половиной графика, не пересекая его выше оси.

Теперь поищем общую касательную. Пусть это y=ax плюс b. Тогда уравнения  минус x в квадрате минус 2x=ax плюс b и  минус x в квадрате плюс 4x=ax плюс b должны иметь по одному корню. Тогда дискриминанты уравнений x в квадрате плюс (2 плюс a)x плюс b=0 и x в квадрате плюс (a минус 4)x плюс b=0 должны быть нулями. Итак, (a плюс 2) в квадрате минус 4b=0 и (a минус 4) в квадрате минус 4b=0. Вычитая эти уравнения, находим

(a плюс 2) в квадрате минус (a минус 4) в квадрате =0 равносильно 4a плюс 4 плюс 8a минус 16=0 равносильно a=1,

тогда b= дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ: y=x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2936

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 9 из 10