Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2941

Решите систему уравнений

 система выражений косинус x косинус y плюс синус x синус y = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x плюс синус y = минус 1. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение системы равносильно  косинус (y минус x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , откуда y минус x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . Тогда y=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k плюс x. Подставим эти значения во второе уравнение:

 синус x плюс синус левая круглая скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k плюс x правая круглая скобка = минус 1 равносильно синус x плюс синус левая круглая скобка x \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 равносильно
 равносильно синус x плюс синус x косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби \pm косинус x синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус 1 равносильно синус x плюс синус x умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \pm косинус x синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус 1 равносильно
 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x \pm косинус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус 1 равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус x \pm косинус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус 1 равносильно синус левая круглая скобка x\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 равносильно

 равносильно x=\mp дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n; y=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи t, n,t принадлежит Z .

Обозначим n плюс k=t и напишем итоговый ответ: x=\mp дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, y=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи t, где n,t принадлежит Z .

 

Ответ: \left \ левая круглая скобка \mp дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи t правая круглая скобка : n,t принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2935

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Системы тригонометрических уравнений
?
Сложность: 8 из 10