Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2940

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2 в степени x , y = 3 минус x и осью ординат.

Спрятать решение

Решение.

Найдем сначала точку пересечения графиков, решив уравнение 2 в степени (x) =3 минус x. Ясно, что x=1 подходит. Поскольку правая часть убывает, а левая возрастает, других корней нет. При этом на (0;1) имеем 2 в степени x меньше 2 меньше 3 минус x, то есть график 2 в степени x проходит ниже. Теперь можно искать площадь:

S= принадлежит t\limits_0 в степени (1) (3 минус x минус 2 в степени x )dx= \left. левая круглая скобка 3x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 2 в степени x , знаменатель: \ln 2 конец дроби правая круглая скобка |_0 в степени (1) =

=3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 минус дробь: числитель: 2 в степени 1 , знаменатель: \ln 2 конец дроби минус 3 умножить на 0 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 0 плюс дробь: числитель: 2 в степени 0 , знаменатель: \ln 2 конец дроби = 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: \ln 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln 2 конец дроби = целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln 2 конец дроби .

 

Ответ:  целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2934

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10