Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2939

Решите неравенство  логарифм по основанию (2 минус x) (2x в квадрате минус x) больше 2.

Спрятать решение

Решение.

Найдем ОДЗ неравенства:

 система выражений 2 минус x больше 0,2 минус x не равно 1, 2x в квадрате минус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений x меньше 2,x не равно 1, совокупность выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше 0. конец системы . конец совокупности .

Итак, ОДЗ это ( минус принадлежит fty; 0)\cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup(1; 2). Теперь применим метод рационализации:

 логарифм по основанию (2 минус x) (2x в квадрате минус x) больше 2 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (2x в квадрате минус x), знаменатель: логарифм по основанию 2 (2 минус x) конец дроби больше 2 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (2x в квадрате минус x), знаменатель: логарифм по основанию 2 (2 минус x) конец дроби минус 2 больше 0 равносильно
 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (2x в квадрате минус x) минус 2 логарифм по основанию 2 (2 минус x), знаменатель: логарифм по основанию 2 (2 минус x) конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (2x в квадрате минус x) минус логарифм по основанию 2 (2 минус x) в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 (2 минус x) минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 равносильно
 равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате минус x минус (2 минус x) в квадрате , знаменатель: 2 минус x минус 1 конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате минус x минус x в квадрате плюс 4x минус 4, знаменатель: 1 минус x конец дроби больше 0 равносильно
 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x минус 4, знаменатель: 1 минус x конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: (x минус 1)(x плюс 4), знаменатель: 1 минус x конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: (x минус 1)(x плюс 4), знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0 равносильно x плюс 4 меньше 0, x не равно 1

 равносильно x меньше минус 4.

С учетом ОДЗ получим ответ: x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 4).

 

Ответ: x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 4).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2933

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические неравенства
?
Сложность: 6 из 10