РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2937

Найдите пару комплексных чисел $левая круглая скобка z_1; z_2 правая круглая скобка ,$ для которых одновременно выполняются соотношения

$3 \overlinez_1 минус 2z_2=11 плюс 5i;$ $2z_1 минус i\overlinez_2 = 7 минус i.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $z_1 = a_1 плюс i умножить на b_1,$ $z_2 = a_2 плюс i умножить на b_2.$ Тогда $\overlinez_1 = a_1 минус i умножить на b_1,$ $\overlinez_2 = a_2 минус i умножить на b_2$ и

$3 \overlinez_1 минус 2z_2 = левая круглая скобка 3a_1 минус 2a_2 правая круглая скобка плюс i левая круглая скобка минус 3b_1 минус 2b_2 правая круглая скобка ,$

$2z_1 минус i\overlinez_2 = левая круглая скобка 2a_1 минус b_2 правая круглая скобка плюс i левая круглая скобка 2b_1 минус a_2 правая круглая скобка .$

Соотношения $3 \overlinez_1 минус 2z_2=11 плюс 5i;$ $2z_1 минус i\overlinez_2 = 7 минус i$ выполняются одновременно, если система

$система выражений 3a_1 минус 2a_2 = 11, минус 3b_1 минус 2b_2 = 5, 2a_1 минус b_2 = 7, 2b_1 минус a_2 = минус 1 конец системы .$

имеет решения.

Решим полученную систему методом сложения, для чего к первому и второму уравнениям системы прибавим соответственно четвертое и третье, умноженные на -2:

$система выражений минус 4b_1 плюс 3a_1 = 13,4a_1 плюс 3b_1 = 9. конец системы .$

Отсюда $a_1 = 3$ и $b_1 = минус 1.$ Подставив найденные значения в первое и второе уравнения системы, получим

$3 умножить на 3 минус 2a_2 = 11,$ $a_2 = минус 1;$

$минус 3 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 2b_2 = 5,$ $b_2 = минус 1.$

Итак, $z_1 = 3 минус i$ и $z_2 = минус 1 минус i.$

Ответ: $z_1 = 3 минус i,$ $z_2 = минус 1 минус i.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2932

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь