Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2937

Найдите пару комплексных чисел (z_1; z_2), для которых одновременно выполняются соотношения

3 \overlinez_1 минус 2z_2=11 плюс 5i; 2z_1 минус i\overlinez_2 = 7 минус i.

Спрятать решение

Решение.

Пусть z_1 = a_1 плюс i умножить на b_1, z_2 = a_2 плюс i умножить на b_2. Тогда \overlinez_1 = a_1 минус i умножить на b_1, \overlinez_2 = a_2 минус i умножить на b_2 и

3 \overlinez_1 минус 2z_2 = (3a_1 минус 2a_2) плюс i( минус 3b_1 минус 2b_2),

2z_1 минус i\overlinez_2 = (2a_1 минус b_2) плюс i(2b_1 минус a_2).

Соотношения 3 \overlinez_1 минус 2z_2=11 плюс 5i; 2z_1 минус i\overlinez_2 = 7 минус i выполняются одновременно, если система

 система выражений 3a_1 минус 2a_2 = 11, минус 3b_1 минус 2b_2 = 5, 2a_1 минус b_2 = 7, 2b_1 минус a_2 = минус 1 конец системы .

имеет решения.

Решим полученную систему методом сложения, для чего к первому и второму уравнениям системы прибавим соответственно четвертое и третье, умноженные на -2:

 система выражений минус 4b_1 плюс 3a_1 = 13,4a_1 плюс 3b_1 = 9. конец системы .

Отсюда a_1 = 3 и b_1 = минус 1. Подставив найденные значения в первое и второе уравнения системы, получим

3 умножить на 3 минус 2a_2 = 11, a_2 = минус 1;

 минус 3 умножить на ( минус 1) минус 2b_2 = 5, b_2 = минус 1.

Итак, z_1 = 3 минус i и z_2 = минус 1 минус i.

 

Ответ: z_1 = 3 минус i, z_2 = минус 1 минус i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2932

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 5 из 10