Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2846
i

Ре­ши­те урав­не­ние 15 синус u= синус 15u.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние в виде 15 синус t минус синус 15t=0. Сразу за­ме­тим, что t=0 яв­ля­ет­ся его кор­нем, а функ­ция f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =15 синус t минус синус 15t не­чет­на, по­это­му можно ис­кать толь­ко по­ло­жи­тель­ные корни, а потом до­ба­вить к ним про­ти­во­по­лож­ные. Кроме того, она пе­ри­о­дич­на с пе­ри­о­дом 2 Пи , по­это­му можно ис­кать толь­ко корни на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи , Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , а затем при­ба­вить к ним 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z . Итак, можно ис­кать толь­ко корни на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Далее, если под­ста­вить вме­сто t число  Пи минус t, то по­лу­чим

f левая круг­лая скоб­ка Пи минус t пра­вая круг­лая скоб­ка =15 синус левая круг­лая скоб­ка Пи минус t пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус 15 левая круг­лая скоб­ка Пи минус t пра­вая круг­лая скоб­ка =15 синус t минус синус левая круг­лая скоб­ка 15 Пи минус 15t пра­вая круг­лая скоб­ка =
=15 синус t минус синус левая круг­лая скоб­ка Пи минус 15t пра­вая круг­лая скоб­ка =15 синус t минус синус левая круг­лая скоб­ка 15t пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му корни на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . До­ста­точ­но те­перь огра­ни­чить­ся от­рез­ком  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

От­ме­тим еще, что при  синус t боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15 будем иметь

f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =15 синус t минус синус 15t боль­ше 15 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15 минус 1 боль­ше 0,

по­это­му при  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15 мень­ше t мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби кор­ней нет. До­ка­жем, что эта функ­ция воз­рас­та­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Учи­ты­вая, что f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, дру­гих кор­ней на этом от­рез­ке не будет

f' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 15 синус t минус синус 15t пра­вая круг­лая скоб­ка '=15 ко­си­нус t минус 15 ко­си­нус 15t=
=15 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус t минус ко­си­нус 15t пра­вая круг­лая скоб­ка =30 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 15t минус t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 15t плюс t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =30 ко­си­нус 7t ко­си­нус 8t.

До­ка­жем, что  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , тогда  ко­си­нус 7t и  ко­си­нус 8t будут по­ло­жи­тель­ны на всем от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и про­из­вод­ная будет по­ло­жи­тель­на, а функ­ция будет воз­рас­тать. До­ста­точ­но до­ка­зать, что  синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15

 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , зна­ме­на­тель: 4 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , зна­ме­на­тель: 4 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 4 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Итак, есть толь­ко ко­рень t=0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , зна­чит, толь­ко корни 0, Пи на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , зна­чит, толь­ко корни 0;\pm Пи на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и толь­ко корни  Пи k, k при­над­ле­жит Z на всей ве­ще­ствен­ной пря­мой.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2840

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 9 из 10