PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Запишем уравнение в виде 
Сразу заметим, что 
является его корнем, а функция 
нечетна, поэтому можно искать только положительные корни, а потом добавить к ним противоположные. Кроме того, она периодична с периодом 
поэтому можно искать только корни на отрезке 
а затем прибавить к ним 
Итак, можно искать только корни на отрезке 
Далее, если подставить вместо t число 
то получим
симметричны относительно 
Достаточно теперь ограничиться отрезком 
Отметим еще, что при 
будем иметь
корней нет. Докажем, что эта функция возрастает на 
Учитывая, что 
других корней на этом отрезке не будет
Докажем, что 
тогда 
и 
будут положительны на всем отрезке 
и производная будет положительна, а функция будет возрастать. Достаточно доказать, что 
Итак, есть только корень на отрезке 
значит, только корни 
на отрезке 
значит, только корни 
на отрезке 
и только корни 
на всей вещественной прямой.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |