Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2839
i

Най­ди­те ост­рый угол, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ны­ми, про­ве­ден­ны­ми из точки M левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ;12 пра­вая круг­лая скоб­ка к гра­фи­ку функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Возь­мем сна­ча­ла про­из­вод­ную

f'= левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка x плюс 16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=1 плюс 16 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус 8x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­это­му ка­са­тель­ная в точке  левая круг­лая скоб­ка x_0, x_0 плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x_0 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка имеет урав­не­ние

y= левая круг­лая скоб­ка 1 минус 8x_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x_0 плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x_0 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Нас ин­те­ре­су­ют ка­са­тель­ные, про­хо­дя­щие через точку  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; 12 пра­вая круг­лая скоб­ка . Под­ста­вим эту точку в дан­ное урав­не­ние

12= левая круг­лая скоб­ка 1 минус 8x_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x_0 плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x_0 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Обо­зна­чим  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x_0 конец ар­гу­мен­та =t, по­лу­чим

12= левая круг­лая скоб­ка 1 минус 8t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс t в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: t конец дроби .

До­мно­жим обе части на t в кубе (при t=0 урав­не­ние не опре­де­ле­но)

12t в кубе = левая круг­лая скоб­ка t в кубе минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс t в сте­пе­ни 5 плюс 16t в квад­ра­те рав­но­силь­но 12t в кубе = левая круг­лая скоб­ка t в кубе минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус t в сте­пе­ни 5 плюс 8t в квад­ра­те плюс t в сте­пе­ни 5 плюс 16t в квад­ра­те рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 12t в кубе = левая круг­лая скоб­ка t в кубе минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс 24t в квад­ра­те рав­но­силь­но t в кубе = левая круг­лая скоб­ка t в кубе минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс 2t в квад­ра­те рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 7t в кубе =t в кубе минус 8 плюс 14t в квад­ра­те рав­но­силь­но 6t в кубе минус 14t в квад­ра­те плюс 8=0 рав­но­силь­но 3t в кубе минус 7t в квад­ра­те плюс 4=0.

У этого урав­не­ния есть ко­рень t=1, можно вы­де­лить мно­жи­тель t минус 1

 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t в квад­ра­те минус 4t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t=2,t= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Зна­че­ния t= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем по­сколь­ку  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x_0 конец ар­гу­мен­та =t боль­ше или равно 0. Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и по­лу­чим x_0=1 или x_0=4.

Уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты ка­са­тель­ных равны, со­от­вет­ствен­но

1 минус 8 умно­жить на 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 7,

1 минус 8 умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

то есть вто­рая ка­са­тель­ная го­ри­зон­таль­на. Пер­вая об­ра­зу­ет с го­ри­зон­таль­ной пря­мой угол, тан­генс ко­то­ро­го равен \abs минус 7=7.

 

Ответ:  арк­тан­генс 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2845

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 8 из 10