Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2816
i

Срав­ни­те два числа:  при­над­ле­жит t пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до дробь: чис­ли­тель: 1, 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби dx конец дроби и  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3, ис­поль­зуя гео­мет­ри­че­скую ин­тер­пре­та­цию опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

I спо­соб. Гео­мет­ри­че­ская ин­тер­пре­та­ция за­клю­ча­ет­ся в том, что если один гра­фик идет ниже дру­го­го, то пло­щадь под ним мень­ше, а так же в том, что пло­щадь под го­ри­зон­таль­ной ли­ни­ей это пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка. А имен­но, функ­ция y= синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби на  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на. А так как  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2 мень­ше 3 мень­ше Пи , то она по­ло­жи­тель­на и воз­рас­та­ет на этом от­рез­ке.

Ин­те­грал  при­над­ле­жит t пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до дробь: чис­ли­тель: 1, 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби dx конец дроби чис­лен­но равен пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y= синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и y=0. Таким об­ра­зом,

 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до дробь: чис­ли­тель: 1, 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби dx конец дроби мень­ше левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус 2 мень­ше 1.

С дру­гой сто­ро­ны,  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 боль­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм e=1. Зна­чит,  при­над­ле­жит t пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до дробь: чис­ли­тель: 1, 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби dx конец дроби мень­ше 1 мень­ше \ln3.

Ответ:  при­над­ле­жит t пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до дробь: чис­ли­тель: 1, 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби dx конец дроби мень­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3.

 

II спо­соб. Оце­ним подын­те­граль­ную функ­цию:

 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби dx мень­ше или равно при­над­ле­жит t пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 1 dx= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 1= на­ту­раль­ный ло­га­рифм e мень­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2822

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Срав­не­ние чисел
?
Сложность: 9 из 10