Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2770
i

Ре­ши­те си­сте­му  си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка x плюс 2y пра­вая круг­лая скоб­ка =19, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка y минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =21. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим сразу, что при x=1 и y=9 оба урав­не­ния вы­пол­ня­ют­ся. Обо­зна­чим вре­мен­но  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =a и  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та =b. Тогда урав­не­ния при­мут вид

a левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 2b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =19,

 b левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те минус 2a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =21.

Раз­де­лим те­перь эти урав­не­ния друг на друга и обо­зна­чим  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби =t, по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: a левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 2b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: b левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те минус 2a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: b в квад­ра­те конец дроби плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: b левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: b в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус 2t в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби рав­но­силь­но 21t левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =19 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 21t в кубе плюс 38t в квад­ра­те плюс 42t минус 19=0.

Одним из кор­ней этого урав­не­ния яв­ля­ет­ся t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби (оно по­лу­ча­ет­ся при уга­дан­ных нами зна­че­ни­ях x и y). Зна­чит, по тео­ре­ме Безу у мно­го­чле­на есть де­ли­тель t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Удоб­нее, од­на­ко, будет вы­де­лять 3 левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =3t минус 1, имеем:

 левая круг­лая скоб­ка 3t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7t в квад­ра­те плюс 15t плюс 19 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

По­сколь­ку 15 в квад­ра­те минус 4 умно­жить на 7 умно­жить на 19 мень­ше 0, вто­рой мно­жи­тель кор­ней не дает.

Итак, t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , то есть b=3a. Под­став­ляя это в пер­вое урав­не­ние, на­хо­дим

a левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 2 умно­жить на 9a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =19 рав­но­силь­но 19a в кубе =19 рав­но­силь­но a=1,

тогда b=3. Зна­чит, x=1 и y=9 дей­стви­тель­но под­хо­дят.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1;9 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2764

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1998 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10