Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2769
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной пря­мой y=9x минус 15 и гра­фи­ком той пер­во­об­раз­ной функ­ции y=3x в квад­ра­те минус 3, для ко­то­рой дан­ная пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­во­об­раз­ная к 3x в квад­ра­те минус 3 есть x в кубе минус 3x плюс C. Урав­не­ние ка­са­тель­ной к y=x в кубе минус 3x плюс C в точке x_0 это

y=x_0 в кубе минус 3x_0 плюс C плюс левая круг­лая скоб­ка 3x_0 в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

то есть ко­эф­фи­ци­ент при x равен левая круг­лая скоб­ка 3x_0 в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =9, от­ку­да x_0=\pm 2. При x_0=2 урав­не­ние ка­са­тель­ной будет

y=2 плюс C плюс 9 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но y=9x минус 16 плюс C,

зна­чит, надо взять C=1. При x_0= минус 2 урав­не­ние ка­са­тель­ной будет

y= минус 2 плюс C плюс 9 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но y=9x плюс 16 плюс C,

зна­чит, надо взять C= минус 31. Раз­бе­рем оба слу­чая:

1 слу­чай. Имеем:

y=x в кубе минус 3x плюс 1=9x минус 15 рав­но­силь­но x в кубе минус 12x плюс 16=0,

это урав­не­ние имеет ко­рень x=2 (что есте­ствен­но), по­это­му есть мно­жи­тель левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , вы­де­лим его

левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

по­это­му ка­са­тель­ная пе­ре­се­ка­ет гра­фик при x=2 и x= минус 4. Вы­бе­рем любую точку между ними, на­при­мер x=0. Тогда

y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 в кубе минус 3 умно­жить на 0 плюс 1=1 боль­ше 9 умно­жить на 0 минус 15,

зна­чит, на этом участ­ке гра­фик лежит выше ка­са­тель­ной. Тогда

S= при­над­ле­жит t\limits_ минус 4 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 3x плюс 1 минус левая круг­лая скоб­ка 9x минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_ минус 4 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 12x плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в сте­пе­ни 4 минус 6x в квад­ра­те плюс 16x пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 4 в квад­ра­те =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 16 минус 6 умно­жить на 4 плюс 16 умно­жить на 2 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 256 минус 6 умно­жить на 16 плюс 16 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус 24 плюс 32 минус 64 плюс 96 плюс 64=108.

2 слу­чай. Имеем:

y=x в кубе минус 3x минус 31=9x минус 15 рав­но­силь­но x в кубе минус 12x минус 16=0,

это урав­не­ние имеет ко­рень x= минус 2 (что есте­ствен­но), по­это­му есть мно­жи­тель левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , вы­де­лим его

левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

по­это­му ка­са­тель­ная пе­ре­се­ка­ет гра­фик при x= минус 2 и x=4. Вы­бе­рем любую точку между ними, на­при­мер x=0. Тогда

y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 в кубе минус 3 умно­жить на 0 минус 31=1 мень­ше 9 умно­жить на 0 минус 15,

зна­чит, на этом участ­ке гра­фик лежит ниже ка­са­тель­ной. Тогда

S= при­над­ле­жит t\limits_ минус 2 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 9x минус 15 минус левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 3x минус 31 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_ минус 2 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка минус x в кубе плюс 12x плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в сте­пе­ни 4 плюс 6x в квад­ра­те плюс 16x пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 2 в сте­пе­ни 4 =

= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 256 плюс 6 умно­жить на 16 плюс 16 умно­жить на 4 минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 16 плюс 6 умно­жить на 4 плюс 16 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 64 плюс 96 плюс 64 плюс 4 минус 24 плюс 32=108.

 

Ответ: 108.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2775

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1998 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025