Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2768
i

Мно­же­ство K со­сто­ит из всех ком­плекс­ных чисел z, таких, что |z|=2|\barz минус 3i плюс 6|. Най­ди­те все такие числа z_0, что для любых z_1 и z_2 из K |z_1 минус z_0|=|z_2 минус z_0|.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z=x плюс yi, тогда

\absx плюс yi=2\absx минус yi минус 3i плюс 6,

от­ку­да

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =4 левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Упро­стим это урав­не­ние:

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =4x в квад­ра­те плюс 48x плюс 144 плюс 4y в квад­ра­те плюс 24y плюс 36 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те плюс 48x плюс 180 плюс 3y в квад­ра­те плюс 24y=0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 16x плюс 60 плюс y в квад­ра­те плюс 8y=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 16x плюс 64 плюс y в квад­ра­те плюс 8y плюс 16=20 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =20.

Зна­чит, эти точки пред­став­ля­ют собой окруж­ность с цен­тром  левая круг­лая скоб­ка минус 8; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 8 минус 4i и ра­ди­у­сом  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 конец ар­гу­мен­та . Един­ствен­ная точка, рав­но­уда­лен­ная от всех точек окруж­но­сти, это ее центр.

 

Ответ: z_0= минус 8 минус 4i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2774

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1998 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 9 из 10