РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2755

Найдите уравнения всех общих касательных к графикам функций $y= минус x в квадрате плюс 9x минус 23$ и $y=x в квадрате плюс 3x минус 6.$

Спрятать решение

Решение.

Прямая касается параболы в том и только том случае, когда имеет с ней одну общую точку и не вертикальна. Пусть уравнение этой прямой $y=kx плюс b,$ тогда уравнения

$минус x в квадрате плюс 9x минус 23=kx плюс b,$

$x в квадрате плюс 3x минус 6=kx плюс b$

имеют по одному корню. Значит, дискриминанты уравнений

$x в квадрате плюс левая круглая скобка k минус 9 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка b плюс 23 правая круглая скобка =0,$

$x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус k правая круглая скобка x минус левая круглая скобка b плюс 6 правая круглая скобка =0$

равны нулю. Составим систему уравнений

$левая фигурная скобка \beginaligned левая круглая скобка k минус 9 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка b плюс 23 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка 3 минус k правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка b плюс 6 правая круглая скобка =0 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 18k плюс 81 минус 4b минус 92=0, k в квадрате минус 6k плюс 9 плюс 4b плюс 24=0 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 18k минус 4b минус 11=0, k в квадрате минус 6k плюс 4b плюс 33=0. \endaligned.$ $левая фигурная скобка \beginaligned левая круглая скобка k минус 9 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка b плюс 23 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка 3 минус k правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка b плюс 6 правая круглая скобка =0 \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 18k плюс 81 минус 4b минус 92=0, k в квадрате минус 6k плюс 9 плюс 4b плюс 24=0 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 18k минус 4b минус 11=0, k в квадрате минус 6k плюс 4b плюс 33=0. \endaligned.$ $левая фигурная скобка \beginaligned левая круглая скобка k минус 9 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка b плюс 23 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка 3 минус k правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка b плюс 6 правая круглая скобка =0 \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 18k плюс 81 минус 4b минус 92=0, k в квадрате минус 6k плюс 9 плюс 4b плюс 24=0 \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 18k минус 4b минус 11=0, k в квадрате минус 6k плюс 4b плюс 33=0. \endaligned.$

Складывая уравнения, получим

$2k в квадрате минус 24k плюс 22=0 равносильно 2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k минус 11 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений k=1,k=11. конец совокупности .$

Подставляя эти значения в первое уравнение получаем, что при $k=1:$

$1 минус 18 минус 4b минус 11=0 равносильно 4b= минус 28 равносильно b= минус 7,$

и при $k=11:$

$121 минус 198 минус 4b минус 11=0 равносильно 4b= минус 88 равносильно b= минус 22.$

Итак, уравнения касательных $y=x минус 7$ и $y=11x минус 22.$

Ответ: $y=11x минус 22,$ $y=x минус 7.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2761

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1997 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 8 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь