Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2722
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 3x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 синус 4x ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат обе части урав­не­ния ( синус x боль­ше или равно 0). Имеем:

 синус 3x=1 плюс 2 синус 4x ко­си­нус x рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка 4x минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс 2 синус 4x ко­си­нус x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус 4x ко­си­нус x минус синус x ко­си­нус 4x=1 плюс 2 синус 4x ко­си­нус x рав­но­силь­но минус синус 4x ко­си­нус x минус синус x ко­си­нус 4x=1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус 4x ко­си­нус x плюс синус x ко­си­нус 4x= минус 1 рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка 4x плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус 5x= минус 1 рав­но­силь­но 5x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k,
k при­над­ле­жит Z .

Итак,  синус 3x долж­но быть не­от­ри­ца­тель­но (вы­ра­же­ние 1 плюс 2 синус 4x ко­си­нус x во всех этих точ­ках сов­па­да­ет с  синус 3x, по­это­му тоже будет не­от­ри­ца­тель­но). Под­ста­вим:

 синус 3x= синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ясно, что при уве­ли­че­нии k на 5 ар­гу­мент си­ну­са уве­ли­чит­ся на 6 Пи и синус не из­ме­нит­ся, по­это­му до­ста­точ­но пе­ре­брать k от 0 до 4.

При k=0:

 синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

При k=1:

 синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

При k=2:

 синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби \rigth пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

При k=3:

 синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 33 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби \ight пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

При k=4:

 синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 45 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 боль­ше 0.

Итак, в ка­че­стве k можно брать числа с остат­ка­ми 1,2,4 от де­ле­ния на 5 то есть k=5n плюс 1; k=5n плюс 2; k=5n плюс 4. Окон­ча­тель­но, под­став­ляя в x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k, на­хо­дим

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n,x= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n: n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2716

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10