Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2722

Решите уравнение  корень из ( синус 3x) = корень из (1 плюс 2 синус 4x косинус x) .

Спрятать решение

Решение.

Возведем в квадрат обе части уравнения ( синус x больше или равно 0). Имеем:

 синус 3x=1 плюс 2 синус 4x косинус x равносильно синус (4x минус x)=1 плюс 2 синус 4x косинус x равносильно
 равносильно синус 4x косинус x минус синус x косинус 4x=1 плюс 2 синус 4x косинус x равносильно минус синус 4x косинус x минус синус x косинус 4x=1 равносильно
 равносильно синус 4x косинус x плюс синус x косинус 4x= минус 1 равносильно синус (4x плюс x)= минус 1 равносильно
 равносильно синус 5x= минус 1 равносильно 5x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби Пи k, k принадлежит Z .

Итак,  синус 3x должно быть неотрицательно (выражение 1 плюс 2 синус 4x косинус x во всех этих точках совпадает с  синус 3x, поэтому тоже будет неотрицательно). Подставим:

 синус 3x= синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби Пи k правая круглая скобка .

Ясно, что при увеличении k на 5 аргумент синуса увеличится на 6 Пи и синус не изменится, поэтому достаточно перебрать k от 0 до 4.

При k=0:

 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби Пи k правая круглая скобка = синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше 0.

При k=1:

 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби Пи k правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка больше 0.

При k=2:

 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби Пи k)= синус ( дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби \rigth) больше 0.

При k=3:

 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби Пи k правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 10 конец дроби \ight)= синус левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше 0.

При k=4:

 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби Пи k правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 45 Пи , знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1 больше 0.

Итак, в качестве k можно брать числа с остатками 1,2,4 от деления на 5 то есть k=5n плюс 1; k=5n плюс 2; k=5n плюс 4. Окончательно, подставляя в x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби Пи k, находим

 совокупность выражений x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n,x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n. конец совокупности .

 

Ответ: \left\ дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n: n принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2716

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1996 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 5 из 10