Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2680
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка \log _5 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Левая часть не­ра­вен­ства опре­де­ле­на для тех зна­че­ний не­из­вест­но­го, при ко­то­рых

x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше 2,x боль­ше 4. конец со­во­куп­но­сти .

Зна­че­ния ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции в левой части ис­ход­но­го не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­ны при

x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 боль­ше 1 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 6x плюс 7 боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,x боль­ше 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Дву­член x минус 6 по­ло­жи­те­лен при x боль­ше 6, от­ри­ца­те­лен при x мень­ше 6. По­сколь­ку 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 2 и 4 мень­ше 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 6, мы по­лу­ча­ем, что ре­ше­ни­я­ми ис­ход­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ют­ся зна­че­ния из мно­же­ства  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Решим дан­ное не­ра­вен­ство, сведя его к объ­еди­не­нию си­сте­мы:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 6 мень­ше или равно 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 6 боль­ше или равно 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 6,x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 боль­ше или равно 1, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 6,0 мень­ше x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 6, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 6,1 мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 2 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно x мень­ше или равно 6,x мень­ше или равно 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Рас­смот­рим функ­цию

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Она опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на мно­же­стве чисел x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 боль­ше 0, то есть  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , об­ра­ща­ет­ся в нуль x=6. Решим вспо­мо­га­тель­ное урав­не­ние

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 6x плюс 8=1 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

В точ­ках 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;6 знаки функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка ме­ня­ют­ся. По­сколь­ку f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 и  f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, мы по­лу­ча­ем рас­ста­нов­ку зна­ков на со­от­вет­ству­ю­щих про­ме­жут­ках (см. ри­су­нок).

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2688

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 7 из 10