Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2647
i

Най­ди­те все ком­плекс­ные z, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие z Re z плюс \barz\text Im z=3 минус 2i.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z=x плюс iy, x,y при­над­ле­жит R . Тогда \barz=x минус iy, Re z=x и Im z=y. Те­перь пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

 левая круг­лая скоб­ка x плюс iy пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка x минус iy пра­вая круг­лая скоб­ка y=3 минус 2i рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс xy минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i левая круг­лая скоб­ка xy минус y в квад­ра­те плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс xy минус 3=0,xy минус y в квад­ра­те плюс 2=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс xy=3,y в квад­ра­те минус xy=2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x в квад­ра­те плюс 2xy=6,3y в квад­ра­те минус 3xy=6. конец си­сте­мы .

Не­труд­но за­ме­тить, что у лю­бо­го ре­ше­ния си­сте­мы любая ком­по­нен­та не равна нулю, в част­но­сти, y не равно 0. Сло­жим урав­не­ния си­сте­мы; можем на­пи­сать

 2x в квад­ра­те плюс 2xy=3y в квад­ра­те минус 3xy рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те плюс 5xy минус 3y в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби минус 3=0 рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби = минус 3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 3y,y=2x. конец со­во­куп­но­сти .

Под­став­ляя со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния x и y в урав­не­ния со­став­лен­ной выше си­сте­мы, по­лу­чим

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 9y в квад­ра­те минус 3y в квад­ра­те =3,x= минус 3y, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний y=2x,x в квад­ра­те плюс 2x в квад­ра­те =3 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний y в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= минус 3y, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний y=2x,x в квад­ра­те =1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x=1,y=2, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус 1,y= минус 2, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые числа это z=1 плюс 2i, z= минус 1 минус 2i, z= минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс i дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , z= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус i дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: 1 плюс 2i,  минус 1 минус 2i,  минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс i дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус i дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2653

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 8 из 10