Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2571
i

Най­ди­те все p, при ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции y= ко­си­нус 2x плюс p в квад­ра­те минус p плюс 1 в точке гра­фи­ка с абс­цис­сой p не пе­ре­се­ка­ет гра­фик ни одной из двух функ­ций y=3 минус 2x и y=x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 2x плюс p в квад­ра­те минус p плюс 1 в точке гра­фи­ка с абс­цис­сой p:

y минус f левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка =f' левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y=3 минус 2x, то ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен (−2), то есть f' левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2. Но f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 синус 2x, по­это­му

минус 2 синус 2p = минус 2 рав­но­силь­но синус 2p=1 рав­но­силь­но ко­си­нус 2p=0.

По­лу­ча­ем, что в за­дан­ной точке гра­фи­ка f левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка =p в квад­ра­те минус p плюс 1. С уче­том ска­зан­но­го урав­не­ние ка­са­тель­ной в точке p при­мет вид y= минус 2x плюс p в квад­ра­те плюс p плюс 1. По усло­вию эта ка­са­тель­ная не имеет общих точек с гра­фи­ком функ­ции y=x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби , по­это­му урав­не­ние

минус 2x плюс p в квад­ра­те плюс p плюс 1=x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби

не долж­но иметь ре­ше­ний. Урав­не­ние сво­дит­ся к квад­рат­но­му

3x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка p в квад­ра­те плюс p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0,

ко­то­рое не имеет ре­ше­ний, если его дис­кри­ми­нант, рав­ный левая круг­лая скоб­ка p в квад­ра­те плюс p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 9, от­ри­ца­те­лен. Таким об­ра­зом, для того чтобы ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции

y= ко­си­нус 2x плюс p в квад­ра­те минус p плюс 1

в точке гра­фи­ка с абс­цис­сой p удо­вле­тво­ря­ла всем усло­ви­ям за­да­чи, долж­ны вы­пол­нять­ся два со­от­но­ше­ния: синус 2p=1 и левая круг­лая скоб­ка p в квад­ра­те плюс p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 9 боль­ше 0. По­след­нее не­ра­вен­ство пре­об­ра­зу­ем:

левая круг­лая скоб­ка p в квад­ра­те плюс p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 9 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка p в квад­ра­те плюс p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p в квад­ра­те плюс p плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

Так как p в квад­ра­те плюс p плюс 4 боль­ше 0 при всех дей­стви­тель­ных p, то по­лу­чим p в квад­ра­те плюс p минус 2 мень­ше 0, от­ку­да минус 2 мень­ше p мень­ше 1. Урав­не­нию синус 2p=1 удо­вле­тво­ря­ют все числа p вида дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n, где n при­над­ле­жит Z . Среди таких числе вы­бе­рем за­клю­чен­ные между −2 и 1. При n=0: p= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби   — удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству минус 2 мень­ше p мень­ше 1. Если n мень­ше или равно 1, то p мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше минус 2. Если n боль­ше или равно 1, то p боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше 1.

Таким об­ра­зом, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет един­ствен­ное зна­че­ние p  — число дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2565

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025