Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2543

Решите неравенство  логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) ((5x в квадрате минус 11)(3x минус 4)) плюс логарифм по основанию 2 (5x в квадрате минус 11) меньше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем неравенство в виде  логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) ((5x в квадрате минус 11)(3x минус 4)) минус логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) (5x в квадрате минус 11) меньше или равно логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) (1/2).

Учитывая область определения функции  логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) z, и ее монотонное убывание, заменим данное неравенство равносильной ему системой трех неравенств

 система выражений 3x минус 4 больше или равно 1/2,(5x в квадрате минус 11)(3x минус 4) больше 0, 5x в квадрате минус 11 больше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 1,5 ,5x в квадрате минус 11 больше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 1,5,x больше корень из (2,2) . конец системы .

Так как 1,5 = корень из (2,25) больше корень из (2,2) , то решениями системы будут все x из множества [1,5; +∞).

 

Ответ: [1,5; +∞).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2537

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические неравенства
?
Сложность: 6 из 10