Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2515
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 6x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 2 конец дроби плюс 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­сав не­ра­вен­ство в виде  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 6x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 3, све­дем его к со­во­куп­но­сти двух си­стем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше 1,3x в квад­ра­те минус 6x плюс 2 боль­ше 0, x плюс 2 боль­ше 0, x в кубе мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 6x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше 1, левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , 2x в кубе минус 10x плюс 4 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше 1, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби ,x боль­ше 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби , конец си­сте­мы . левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс 4x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше 1, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби ,x боль­ше 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби , конец си­сте­мы . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 2, минус 1 минус ко­рень из 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно минус 1 плюс ко­рень из 2 . конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти .

Срав­не­ние чисел (без мик­ро­каль­ку­ля­то­ра):

 минус 1 плюс ко­рень из 2 \vee 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из 2 \vee 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби рав­но­силь­но  2 \vee 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби \vee дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 4 ко­рень из 3 \vee 7 рав­но­силь­но 48 мень­ше 49 рав­но­силь­но минус 1 плюс ко­рень из 2 мень­ше 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби .

Ре­ше­ния си­сте­мы: все x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1 плюс ко­рень из 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Тогда

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 1,3x в квад­ра­те минус 6x плюс 2 боль­ше 0, x плюс 2 боль­ше 0, x в кубе боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 6x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 1, левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , 2x в кубе минус 10x плюс 4 мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства 2x в кубе минус 10x плюс 4 мень­ше или равно 0 будут x мень­ше или равно минус 1 минус ко­рень из 2 и  минус 1 плюс ко­рень из 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2. Ре­ше­ния си­сте­мы: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Объ­еди­ня­ем ре­ше­ния двух си­стем.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1 плюс ко­рень из 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2521

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 8 из 10