Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2339
i

Мно­го­член Q(x) де­лит­ся без остат­ка на x − 2, а при де­ле­нии на x2 + x даёт в остат­ке −4x + 2. Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния мно­го­чле­на Q(x) на x3 − x2 − 2x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем P(x) в виде

P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус x в квад­ра­те минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс R левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус x в квад­ра­те минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ax в квад­ра­те плюс bx плюс c=x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ax в квад­ра­те плюс bx плюс c=
=x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ax в квад­ра­те плюс bx плюс c= левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ax в квад­ра­те плюс bx плюс c.

Ясно, что  левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на x − 2 и x2 + x, а по­то­му не вли­я­ет на остат­ки от де­ле­ния на них. Зна­чит, и ax в квад­ра­те плюс bx плюс c де­лит­ся на x − 2 и дает оста­ток −4x + 2 при де­ле­нии на x2 + x. Если мно­го­член де­лит­ся на x − 2, то у него есть ко­рень x  =  2, от­ку­да 4a плюс 2b плюс c=0. Далее,

ax в квад­ра­те плюс bx плюс c=a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ax плюс bx плюс c=a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс c,

от­ку­да  левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс c= минус 4x плюс 2, то есть b минус a= минус 4, c=2.

Из по­след­не­го усло­вия и урав­не­ния 4a плюс 2b плюс c=0 сле­ду­ет, что 4a плюс 2b= минус c= минус 2. Зна­чит, 2a плюс b= минус 1 и

 левая круг­лая скоб­ка 2a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 плюс 4 рав­но­силь­но 3a=3 рав­но­силь­но a=1,

от­ку­да b= минус 4 плюс a= минус 3.

 

Ответ: x в квад­ра­те минус 3x плюс 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2334

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1988 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи о мно­го­чле­нах
?
Сложность: 7 из 10