Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2339

Многочлен Q(x) делится без остатка на x − 2, а при делении на x2 + x даёт в остатке −4x + 2. Найдите остаток от деления многочлена Q(x) на x3 − x2 − 2x.

Спрятать решение

Решение.

Запишем P(x) в виде

P(x)=(x в кубе минус x в квадрате минус 2x)Q(x) плюс R(x)=
=(x в кубе минус x в квадрате минус 2x)Q(x) плюс ax в квадрате плюс bx плюс c=x(x в квадрате минус x минус 2)Q(x) плюс ax в квадрате плюс bx плюс c=
=x(x плюс 1)(x минус 2)Q(x) плюс ax в квадрате плюс bx плюс c=(x минус 2)(x в квадрате плюс x)Q(x) плюс ax в квадрате плюс bx плюс c.

Ясно, что (x минус 2)(x в квадрате плюс x)Q(x) делится на x − 2 и x2 + x, а потому не влияет на остатки от деления на них. Значит, и ax в квадрате плюс bx плюс c делится на x − 2 и дает остаток −4x + 2 при делении на x2 + x. Если многочлен делится на x − 2, то у него есть корень x = 2, откуда 4a плюс 2b плюс c=0. Далее,

ax в квадрате плюс bx плюс c=a(x в квадрате плюс x) минус ax плюс bx плюс c=a(x в квадрате плюс x) плюс (b минус a)x плюс c,

откуда (b минус a)x плюс c= минус 4x плюс 2, то есть b минус a= минус 4, c=2.

Из последнего условия и уравнения 4a плюс 2b плюс c=0 следует, что 4a плюс 2b= минус c= минус 2. Значит, 2a плюс b= минус 1 и

(2a плюс b) минус (b минус a)= минус 1 плюс 4 равносильно 3a=3 равносильно a=1,

откуда b= минус 4 плюс a= минус 3.

 

Ответ: x в квадрате минус 3x плюс 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2334

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1988 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 7 из 10