Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2323
i

Ре­ши­те урав­не­ние 3 плюс 2 синус в квад­ра­те x минус 5 ко­си­нус 4x= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те x конец дроби . Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, сразу от­ме­тив, что  тан­генс x опре­де­лен, то есть  ко­си­нус x не равно 0:

3 плюс 2 синус в квад­ра­те x минус 5 ко­си­нус 4x= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: \tfrac1 ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби рав­но­силь­но 3 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус в квад­ра­те x минус 5 ко­си­нус 4x=8 ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 3 синус в квад­ра­те x плюс 3 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 синус в квад­ра­те x минус 5 ко­си­нус 4x=8 ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но 5 синус в квад­ра­те x минус 5 ко­си­нус 4x=5 ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x минус ко­си­нус в квад­ра­те x= ко­си­нус 4x рав­но­силь­но минус ко­си­нус 2x= ко­си­нус 4x рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 4x.

Зна­чит, либо

2x плюс Пи плюс 2 Пи k=4x рав­но­силь­но Пи плюс 2 Пи k=2x рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,k при­над­ле­жит Z ,

но для таких x  ко­си­нус x=0, по­это­му они не под­хо­дят. Либо

2x плюс Пи = минус 4x плюс 2 Пи k рав­но­силь­но 6x=2 Пи k минус Пи рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи k минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,k при­над­ле­жит Z .

На от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка лежат  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 4 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 5 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 6 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . При этом  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби не под­хо­дит, по­сколь­ку в этом слу­чае  ко­си­нус x=0.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2328

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1987 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10