Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2294

Решите неравенство  логарифм по основанию (x минус 1) (x в квадрате минус 6x плюс 9)\leqslant1.

Спрятать решение

Решение.

Найдем сначала ОДЗ неравенства:

 система выражений x в квадрате минус 6x плюс 9 больше 0,x минус 1 больше 0,x минус 1 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений (x минус 3) в квадрате больше 0,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений x не равно 3,x больше 1,x не равно 2 конец системы .

Итак, ОДЗ это (1;2)\cup (2;3)\cup (3; принадлежит fty). Теперь преобразуем неравенство и воспользуемся методом рационализации:

 дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 6x плюс 9), знаменатель: логарифм по основанию 2 (x минус 1) конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 6x плюс 9), знаменатель: логарифм по основанию 2 (x минус 1) конец дроби минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 6x плюс 9) минус логарифм по основанию 2 (x минус 1), знаменатель: логарифм по основанию 2 (x минус 1) минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 6x плюс 9 минус (x минус 1), знаменатель: x минус 1 минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 6x плюс 9 минус x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 7x плюс 10, знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: (x минус 2)(x минус 5), знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0.

Сократим на x − 2, значение x = 2 запрещено по ОДЗ: x минус 5 меньше или равно 0 равносильно x меньше или равно 5. Учитывая ОДЗ, окончательно получаем x принадлежит (1;2)\cup (2;3)\cup (3;5].

 

Ответ:  (1;2)\cup (2;3)\cup (3;5].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2299

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические неравенства
?
Сложность: 7 из 10