Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2293

Найдите все решения уравнения  синус 2x минус тангенс x=4 синус 4x, принадлежащие [ Пи ;2 Пи ].

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

 синус 2x минус тангенс x=4 синус 4x равносильно 2 синус x косинус x минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби =4 синус 4x.

Запомним, что  косинус x не равно 0 и умножим на него:

2 синус x косинус в квадрате x минус синус x=4 синус 4x косинус x равносильно синус x(2 косинус в квадрате x минус 1)=4 умножить на 2 синус 2x косинус 2x косинус x равносильно

 равносильно синус x косинус 2x=8 синус 2x косинус 2x косинус x равносильно синус x косинус 2x=8 умножить на 2 синус x косинус x косинус 2x косинус x равносильно

 равносильно синус x косинус 2x=16 синус x косинус 2x косинус в квадрате x равносильно
 равносильно синус x косинус 2x минус 16 синус x косинус 2x косинус в квадрате x=0 равносильно синус x косинус 2x(1 минус 16 косинус в квадрате x)=0 равносильно

 равносильно совокупность выражений синус x=0, косинус 2x=0,1 минус 16 косинус в квадрате x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k, косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k,x=\pm\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x=\pm\arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .

Все эти корни удовлетворяют условию  косинус x не равно 0. Осталось выбрать те из них, которые лежат на промежутке [ Пи ;2 Пи ]. Сразу отметим, что \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка и \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Из набора x= Пи k подходят  Пи ; 2 Пи .

Из набора x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k подходят  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Из набора x=\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k не подходит ни одно значение.

Из набора x= минус \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k подходит 2 Пи минус \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Из набора x=\arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k не подходит ни одно значение.

Из набора x= минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k подходит 2 Пи минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: \left\ Пи ;2 Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи минус \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи минус \arccos левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2298

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10