В шар радиуса R вписан конус с наибольшей площадью боковой поверхности. Найдите объём этого конуса.
Обозначим радиус основания конуса за r, а его высоту за h, тогда его образующая равна 
а площадь боковой поверхности 
Рассмотрим плоскость осевого сечения конуса. В ней получается треугольник со сторонами 2r и его описанная окружность, имеющая радиус R. Как известно, 
где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника. Получаем:
Тогда площадь боковой поверхности будет равна
Найдем наибольшее значение подкоренного выражения. Возьмем производную:
поэтому производная отрицательна при 
и положительна при 
Значит, сама функция (а с ней и площадь боковой поверхности) убывает при и возрастает при 
а наибольшее значение принимает в точке 
Тогда
и объем конуса равен
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2286