Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2291

В шар радиуса R вписан конус с наибольшей площадью боковой поверхности. Найдите объём этого конуса.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим радиус основания конуса за r, а его высоту за h, тогда его образующая равна  корень из (r в квадрате плюс h в квадрате ) , а площадь боковой поверхности  Пи r корень из (r в квадрате плюс h в квадрате ) .

Рассмотрим плоскость осевого сечения конуса. В ней получается треугольник со сторонами  корень из (r в квадрате плюс h в квадрате ) ,  корень из (r в квадрате плюс h в квадрате ) , 2r и его описанная окружность, имеющая радиус R. Как известно, R= дробь: числитель: abc, знаменатель: 4S конец дроби , где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника. Получаем:

R= дробь: числитель: корень из (r в квадрате плюс h в квадрате ) умножить на корень из (r в квадрате плюс h в квадрате ) умножить на 2r, знаменатель: 4 умножить на \tfrac12 умножить на 2r умножить на h конец дроби равносильно R= дробь: числитель: 2r(r в квадрате плюс h в квадрате ), знаменатель: 4rh конец дроби равносильно

 равносильно R= дробь: числитель: r в квадрате плюс h в квадрате , знаменатель: 2h конец дроби равносильно 2hR=r в квадрате плюс h в квадрате равносильно r= корень из (2hR минус h в квадрате ) .

Тогда площадь боковой поверхности будет равна

 Пи r корень из (r в квадрате плюс h в квадрате ) = Пи корень из (2hR минус h в квадрате ) умножить на корень из (2hR) = Пи корень из (2hR(2hR минус h в квадрате )) = Пи корень из (4R в квадрате h в квадрате минус 2Rh в кубе ) .

Найдем наибольшее значение подкоренного выражения. Возьмем производную:

(4R в квадрате h в квадрате минус 2Rh в кубе )'=8R в квадрате h минус 6Rh в квадрате =2Rh(4R минус 3h),

поэтому производная отрицательна при h больше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби и положительна при h меньше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби . Значит, сама функция (а с ней и площадь боковой поверхности) убывает при h больше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби и возрастает при h меньше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби , а наибольшее значение принимает в точке h= дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда

r в квадрате =2hR минус h в квадрате =2R умножить на дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 16R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 8R в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 16R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 8R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби ,

и объем конуса равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на дробь: числитель: 8R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 32 Пи , знаменатель: 81 конец дроби R в кубе .

Ответ:  дробь: числитель: 32 Пи , знаменатель: 81 конец дроби R в кубе .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2286

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10