Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2290

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y= корень из (2 минус x) и прямой, проходящей через точки A(1; 1) и B(−5; 3).

Спрятать решение

Решение.

Сначала составим уравнение прямой:

 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: минус 5 минус 1 конец дроби = дробь: числитель: y минус 1, знаменатель: 3 минус 1 конец дроби равносильно дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: минус 6 конец дроби = дробь: числитель: y минус 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x минус 1= минус 3(y минус 1) равносильно

 равносильно x минус 1= минус 3y плюс 3 равносильно 3y= минус x плюс 4 равносильно y= дробь: числитель: минус x плюс 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Теперь найдем точки пересечения этой прямой с графиком функции y= корень из (2 минус x) , решив уравнение

 корень из (2 минус x) = дробь: числитель: минус x плюс 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3 корень из (2 минус x) =4 минус x равносильно 9(2 минус x)=(4 минус x) в квадрате равносильно

 равносильно 18 минус 9x=x в квадрате минус 8x плюс 16 равносильно x в квадрате плюс x минус 2=0 равносильно (x минус 1)(x плюс 2)=0 равносильно совокупность выражений x=1,x= минус 2. конец совокупности .

Подставим какую-нибудь точку между −2 и 1. Например при x = 0 получим  корень из (2 минус x) = корень из (2) и  дробь: числитель: минус x плюс 4, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше корень из (2) , значит, график y= корень из (2 минус x) лежит выше графика y= дробь: числитель: минус x плюс 4, знаменатель: 3 конец дроби при x принадлежит [ минус 2;1]. Тогда

S= принадлежит t\limits_ минус 2 в степени 1 левая круглая скобка корень из (2 минус x) минус дробь: числитель: минус x плюс 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_ минус 2 в степени 1 левая круглая скобка (2 минус x) в степени (\tfrac12) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка dx=

 =\left. левая круглая скобка дробь: числитель: (2 минус x) в степени (\tfrac32) , знаменатель: \tfrac32 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x правая круглая скобка |_ минус 2 в степени 1 = \left. левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (2 минус x) в степени (\tfrac32) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x правая круглая скобка |_ минус 2 в степени 1 =

 = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 в степени (\tfrac32) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 1 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 в степени (\tfrac32) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 4 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 2)=

 = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2285

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 8 из 10