Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2289
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс \lg левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \lg левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 плюс \lg левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим \lg левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =t, тогда

\lg левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =2 де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =2t.

Те­перь пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 в сте­пе­ни t боль­ше 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 2t пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 4 умно­жить на 4 в сте­пе­ни t минус 6 в сте­пе­ни t боль­ше 2 умно­жить на 9 умно­жить на 9 в сте­пе­ни t рав­но­силь­но 18 умно­жить на 9 в сте­пе­ни t плюс 6 в сте­пе­ни t минус 4 умно­жить на 4 в сте­пе­ни t мень­ше 0.

Раз­де­лим не­ра­вен­ство на 4 в сте­пе­ни t боль­ше 0:

18 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t минус 4 мень­ше 0 рав­но­силь­но 18 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2t пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t минус 4 мень­ше 0.

Обо­зна­чим  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t =a, по­лу­чим

18a в квад­ра­те плюс a минус 4 мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 9a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сде­лав об­рат­ную за­ме­ну, по­лу­ча­ем:  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Далее,  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби (не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби вы­пол­не­но все­гда). Тогда  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни t мень­ше левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но t мень­ше минус 2. Окон­ча­тель­но, по­лу­ча­ем

\lg левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше минус 2 рав­но­силь­но 0 мень­ше 1 минус x мень­ше 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 0 мень­ше 1 минус x мень­ше 0,01 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но минус 0,01 мень­ше x минус 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но 0,99 мень­ше x мень­ше 1.

Ответ: (0,99; 1).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2284

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1986 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 7 из 10