Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2289

Решите неравенство

4 в степени (1 плюс \lg(1 минус x)) минус 6 в степени (\lg(1 минус x)) больше 2 умножить на 3 в степени (2 плюс \lg(x в квадрате минус 2x плюс 1)) .

Спрятать решение

Решение.

Обозначим \lg(1 минус x)=t, тогда

\lg(1 минус 2x плюс x в квадрате )=\lg (1 минус x) в квадрате =2\lg (1 минус x)=2t.

Теперь преобразуем неравенство:

4 в степени (1 плюс t) минус 6 в степени t больше 2 умножить на 3 в степени (2 плюс 2t) равносильно 4 умножить на 4 в степени t минус 6 в степени t больше 2 умножить на 9 умножить на 9 в степени t равносильно 18 умножить на 9 в степени t плюс 6 в степени t минус 4 умножить на 4 в степени t меньше 0.

Разделим неравенство на 4 в степени t больше 0:

18 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени t плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени t минус 4 меньше 0 равносильно 18 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени (2t) плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени t минус 4 меньше 0.

Обозначим  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени t =a, получим

18a в квадрате плюс a минус 4 меньше 0 равносильно (9a минус 4)(2a плюс 1) меньше 0 равносильно a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка .

Сделав обратную замену, получаем:  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени t принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка . Далее,  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени t меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби (неравенство  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени t больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби выполнено всегда). Тогда  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени t меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени ( минус 2) равносильно t меньше минус 2. Окончательно, получаем

\lg(1 минус x) меньше минус 2 равносильно 0 меньше 1 минус x меньше 10 в степени ( минус 2) равносильно 0 меньше 1 минус x меньше 0,01 равносильно минус 0,01 меньше x минус 1 меньше 0 равносильно 0,99 меньше x меньше 1.

Ответ: (0,99; 1).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2284

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Показательные неравенства
?
Сложность: 7 из 10