РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2277

Найдите все значения $a принадлежит R ,$ $b принадлежит R ,$ для которых выполняется равенство

$a в квадрате плюс левая круглая скобка ab плюс 1 правая круглая скобка i минус 5=ai минус b в квадрате плюс bi.$

Спрятать решение

Решение.

Если

$a в квадрате плюс левая круглая скобка ab плюс 1 правая круглая скобка i минус 5=ai минус b в квадрате плюс bi$

для вещественных a, b, то вещественные и мнимые части правых частей должны быть равны, то есть $a в квадрате минус 5= минус b в квадрате$ и $ab плюс 1=a плюс b.$ Осталось решить систему $левая фигурная скобка \beginaligned a в квадрате плюс b в квадрате =5, ab плюс 1=a плюс b. \endaligned.$ Второе уравнение перепишем в виде

$ab минус a минус b плюс 1=0 равносильно a левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=1,b=1. конец совокупности .$ $ab минус a минус b плюс 1=0 равносильно a левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=1,b=1. конец совокупности .$

В первом случае первое уравнение дает $1 плюс b в квадрате =5 равносильно b в квадрате =4 равносильно b=\pm 2.$

Во втором случае первое уравнение дает $1 плюс a в квадрате =5 равносильно a в квадрате =4 равносильно a=\pm 2.$

Ответ: (1; 2), (1; −2), (2; 1), (−2; 1).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2272

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь