Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2271
i

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те длину вы­со­ты пи­ра­ми­ды, при ко­то­рой её объём наи­мень­ший.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, O  — центр ос­но­ва­ния ABCD, M  — се­ре­ди­на AB, N  — се­ре­ди­на CD. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 2x, а вы­со­та равна h, тогда V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби h левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби hx в квад­ра­те . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOM сразу най­дем

SM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO в квад­ра­те плюс OM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SMN. В ней се­че­ние впи­сан­ной сферы будет пред­став­лять впи­сан­ную окруж­ность этого тре­уголь­ни­ка. По усло­вию ее ра­ди­ус равен 1. С дру­гой сто­ро­ны, r= дробь: чис­ли­тель: 2S_SMN, зна­ме­на­тель: P_SMN конец дроби , от­ку­да

1= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на h умно­жить на 2x, зна­ме­на­тель: 2x плюс 2SM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: xh, зна­ме­на­тель: x плюс SM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: xh, зна­ме­на­тель: x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби .

От­сю­да

xh=x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но xh минус x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x в квад­ра­те h в квад­ра­те минус 2x в квад­ра­те h плюс x в квад­ра­те =h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те h в квад­ра­те минус 2x в квад­ра­те h=h в квад­ра­те ,

после со­кра­ще­ния на h не равно 0 на­хо­дим

x в квад­ра­те h минус 2x в квад­ра­те =h рав­но­силь­но h= дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби ,

V= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби hx в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 минус 1 плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сумма об­рат­ных ве­ли­чин все­гда не мень­ше 2 и равна 2 толь­ко когда они равны 1. По­это­му наи­мень­ший объем будет при x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и h= дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 минус 1 конец дроби =4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2266

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1985 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10