Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2260
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та , ка­са­тель­ной к гра­фи­ку этой функ­ции в точке с абс­цис­сой x0  =  3, и пря­мой y  =  0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем урав­не­ние ка­са­тель­ной. Для этого вы­чис­лим про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка '=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка '=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на 2= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби

Тогда y' левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та конец дроби =1 и y левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та =4, по­это­му урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид

y=1 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 рав­но­силь­но y=x минус 3 плюс 4 рав­но­силь­но y=x плюс 1.

Пря­мая y  =  x + 1 пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс при x  =  −1, а гра­фик функ­ции y=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та   — при x  =  1. Зна­чит, об­ласть огра­ни­че­на свер­ху гра­фи­ком y  =  x + 1, а снизу  — осью абс­цисс при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и гра­фи­ком y=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Разо­бьем об­ласть на две части вер­ти­каль­ной пря­мой x  =  1, тогда левая часть  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с го­ри­зон­таль­ным ка­те­том 1 − (−1)  =  2 и вер­ти­каль­ным 1 + 1  =  2 (по­сколь­ку пря­мая x  =  1 пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой y=x плюс 1 в точке  левая круг­лая скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ), зна­чит, его пло­щадь  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 2=2. По­это­му общая пло­щадь равна

S=2 плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx=2 плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 минус 2 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= 2 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс x минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \tfrac32 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в кубе = 2 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс x минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в кубе =

=2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 плюс 0=
= 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =4 плюс 4 минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Ответ:  целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2255

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1985 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10