Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2229

Решите неравенство (0,5) в степени (2x в квадрате минус 3) плюс (0,5) в степени (4x минус 1) \geqslant17 умножить на (0,5) в степени (x в квадрате плюс 2x) .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

2 в степени (3 минус 2x в квадрате ) плюс 2 в степени (1 минус 4x) больше или равно 17 умножить на 2 в степени ( минус x в квадрате минус 2x) равносильно 2 в кубе умножить на 2 в степени ( минус 2x в квадрате ) плюс 2 умножить на 2 в степени ( минус 4x) больше или равно 17 умножить на 2 в степени ( минус x в квадрате ) умножить на 2 в степени ( минус 2x) равносильно 8 умножить на 2 в степени ( минус 2x в квадрате ) плюс 2 умножить на 2 в степени ( минус 4x) больше или равно 17 умножить на 2 в степени ( минус x в квадрате ) умножить на 2 в степени ( минус 2x) .

Временно обозначим a=2 в степени ( минус x в квадрате ) , b=2 в степени ( минус 2x) :

8a в квадрате плюс 2b в квадрате больше или равно 17ab равносильно 8a в квадрате минус 17ab плюс 2b в квадрате больше или равно 0 равносильно (8a минус b)(a минус 2b) больше или равно 0 равносильно (8 умножить на 2 в степени ( минус x в квадрате ) минус 2 в степени ( минус 2x) )(2 в степени ( минус x в квадрате ) минус 2 умножить на 2 в степени ( минус 2x) ) больше или равно 0 равносильно

 равносильно (2 в степени (3 минус x в квадрате ) минус 2 в степени ( минус 2x) )(2 в степени ( минус x в квадрате ) минус 2 в степени (1 минус 2x) ) больше или равно 0 равносильно (3 минус x в квадрате минус ( минус 2x))( минус x в квадрате минус (1 минус 2x)) больше или равно 0 равносильно

 равносильно (3 минус x в квадрате плюс 2x)( минус x в квадрате минус 1 плюс 2x) больше или равно 0 равносильно (x в квадрате минус 2x минус 3)(x в квадрате минус 2x плюс 1) больше или равно 0 равносильно (x минус 3)(x плюс 1)(x минус 1) в квадрате больше или равно 0,

поскольку (x минус 1) в квадрате положительно при x не равно 1, можно на него сократить (отдельно запомним, что при x = 1 неравенство верно):

(x минус 3)(x плюс 1) больше или равно 0 равносильно x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 1]\cup [3; принадлежит fty).

Вспоминая про дополнительное значение x = 1, окончательно получаем x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 1]\cup \1\ \cup [3; принадлежит fty).

 

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 1]\cup \1\ \cup [3; принадлежит fty).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2224

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1984 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Показательные неравенства
?
Сложность: 7 из 10