РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2191

Найдите наибольший возможный объём правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар радиуса R.

Решение.

Обозначим ребро основания пирамиды за x, тогда сечение сферы плоскостью основания - описанная окружность правильного треугольника со стороной x, поэтому ее радиус равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: синус 60 в степени (\circ) конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: корень из (3) конец дроби .$

Проведем диаметр сферы, перпендикулярный этой плоскости. Один из его концов — вершина пирамиды. Ясно, что больший объем получится, если выбирать более далекий от плоскости конец.

Пусть O — центр сферы, O₁ — центр окружности, описанной около основания ABС. Тогда в прямоугольном треугольнике OO₁C имеем

$OO_1= корень из (OC в квадрате минус O_1C в квадрате ) = корень из (R в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби ) ,$

поэтому высота пирамиды равна $R плюс корень из (R в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби ) ,$ а ее объем равен

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ABC h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка R плюс корень из (R в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби ) правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ( корень из (3) Rx в квадрате плюс корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) ).$

Осталось найти наибольшее значение этой функции. Возьмем производную. Множитель $дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби$ не влияет на точку, где принимается наибольшее значение, его писать не будем. Получаем:

$( корень из (3) Rx в квадрате плюс корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) )'=2xR корень из (3) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) конец дроби умножить на (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 )'=$
$= 2xR корень из (3) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) конец дроби умножить на (12R в квадрате x в кубе минус 6x в степени 5 ).$

Найдем корни производной на отрезке $x принадлежит [0;R корень из (3) ]:$

$2xR корень из (3) плюс дробь: числитель: 12R в квадрате x в кубе минус 6x в степени 5 , знаменатель: 2 корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) конец дроби =0 равносильно 4xR корень из (3) корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) плюс 12R в квадрате x в кубе минус 6x в степени 5 =0 равносильно$

$равносильно 2R корень из (3) корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) плюс 6R в квадрате x в квадрате минус 3x в степени 4 =0 равносильно 2R корень из (3) корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) =3x в степени 4 минус 6R в квадрате x в квадрате равносильно$

$равносильно 12R в квадрате (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 )=(3x в степени 4 минус 6R в квадрате x в квадрате ) в квадрате равносильно 36R в степени 4 x в степени 4 минус 12R в квадрате x в степени 6 =9x в степени 8 минус 36R в квадрате x в степени 6 плюс 36R в степени 4 x в степени 4 равносильно$
$равносильно 0=9x в степени 8 минус 24R в квадрате x в степени 6 равносильно 9x в квадрате =24R в квадрате равносильно x= корень из ( дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ) R.$

Значит, наибольшее значение эта функция принимает при x = 0, $x= корень из ( дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ) R$ или $x= корень из (3) R.$ Подставим их: $V(0)=0,$

$V левая круглая скобка корень из ( дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ) R правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате плюс корень из (3R в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате правая круглая скобка в кубе ) правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на корень из (3R в квадрате минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате ) правая круглая скобка = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R плюс корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате ) правая круглая скобка = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R плюс дробь: числитель: R, знаменатель: корень из (3) конец дроби правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3R плюс R, знаменатель: корень из (3) конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из (3) конец дроби R в кубе = дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 корень из (3) конец дроби R в кубе = дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе ,$

$V( корень из (3) R)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ( корень из (3) R(3R в квадрате ) плюс корень из (3R в квадрате (3R в квадрате ) в квадрате минус (3R в квадрате ) в кубе ) )=V( корень из (3) R)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ( корень из (3) R(3R в квадрате ) плюс корень из (0) )= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби R в кубе .$

Поскольку $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 27 конец дроби ,$ наибольшее значение равно $дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .$

Ответ: $дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .$

Приведём другое решение.

Пусть S — вершина пирамиды, ABC — ее основание, O — центр сферы, O₁ — центр правильного треугольника ABC. Ясно, что S лежит на прямой OO₁, причем так, что O лежит между O₁ и S (если это не так, заменим S на второй конец этого же диаметра, высота пирамиды увеличится, значит, и объем тоже). Обозначим $OO_1=x,$ тогда $h=R плюс x$  — высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника OO₁C имеем

$O_1C= корень из (OC в квадрате минус OO_1 в квадрате ) = корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) .$

Cечение сферы плоскостью основания — описанная окружность правильного треугольника и поскольку ее радиус равен $корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) ,$ то сторона треугольника равна

$2 корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) умножить на синус 60 в степени (\circ) = корень из (3) корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) .$

Тогда объем пирамиды равен

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (R плюс x) умножить на дробь: числитель: корень из (3) корень из (R в квадрате минус x в квадрате в квадрате корень из (3) ) , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (R плюс x) умножить на дробь: числитель: 3(R в квадрате минус x в квадрате ) корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби (R плюс x)(R в квадрате минус x в квадрате )= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби (R плюс x)(R плюс x)(R минус x)= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби h в квадрате (2R минус h).$

Найдем теперь наибольшее значение функции $h в квадрате (2R минус h).$ Возьмем ее производную:

$(h в квадрате (2R минус h))'=(2Rh в квадрате минус h в кубе )'=4Rh минус 3h в квадрате =h(4R минус 3h),$

поэтому производная отрицательна при $h больше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби$ и положительна при $h меньше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби .$ Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при $h больше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби$ и возрастает при $h меньше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби ,$ а наибольшее значение принимает в точке $h= дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби :$

$V_max= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 16R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .$

Ответ: $дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2186

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Геометрия

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · ·

Сообщить об ошибке · Помощь