Обо­зна­чим ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды за x, тогда се­че­ние сферы плос­ко­стью ос­но­ва­ния - опи­сан­ная окруж­ность пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной x, по­это­му ее ра­ди­ус равен

Про­ве­дем диа­метр сферы, пер­пен­ди­ку­ляр­ный этой плос­ко­сти. Один из его кон­цов  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды. Ясно, что боль­ший объем по­лу­чит­ся, если вы­би­рать более да­ле­кий от плос­ко­сти конец.

Пусть O  — центр сферы, O₁  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ос­но­ва­ния ABС. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OO₁C имеем

по­это­му вы­со­та пи­ра­ми­ды равна а ее объем равен

Оста­лось найти наи­боль­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем про­из­вод­ную. Мно­жи­тель не вли­я­ет на точку, где при­ни­ма­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние, его пи­сать не будем. По­лу­ча­ем:

Най­дем корни про­из­вод­ной на от­рез­ке

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние эта функ­ция при­ни­ма­ет при x  =  0, или Под­ста­вим их:

По­сколь­ку наи­боль­шее зна­че­ние равно

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть S  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, ABC  — ее ос­но­ва­ние, O  — центр сферы, O₁  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Ясно, что S лежит на пря­мой OO₁, при­чем так, что O лежит между O₁ и S (если это не так, за­ме­ним S на вто­рой конец этого же диа­мет­ра, вы­со­та пи­ра­ми­ды уве­ли­чит­ся, зна­чит, и объем тоже). Обо­зна­чим тогда   — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OO₁C имеем

Cече­ние сферы плос­ко­стью ос­но­ва­ния  — опи­сан­ная окруж­ность пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка и по­сколь­ку ее ра­ди­ус равен то сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна

Тогда объем пи­ра­ми­ды равен

Най­дем те­перь наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции Возь­мем ее про­из­вод­ную:

по­это­му про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при и по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, сама функ­ция (а с ней и объем) убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при а наи­боль­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет в точке

Ответ: