Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2191

Найдите наибольший возможный объём правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар радиуса R.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим ребро основания пирамиды за x, тогда сечение сферы плоскостью основания - описанная окружность правильного треугольника со стороной x, поэтому ее радиус равен  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: синус 60 в степени (\circ) конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: корень из (3) конец дроби .

Проведем диаметр сферы, перпендикулярный этой плоскости. Один из его концов — вершина пирамиды. Ясно, что больший объем получится, если выбирать более далекий от плоскости конец.

Пусть O — центр сферы, O1 — центр окружности, описанной около основания ABС. Тогда в прямоугольном треугольнике OO1C имеем

OO_1= корень из (OC в квадрате минус O_1C в квадрате ) = корень из (R в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби ) ,

поэтому высота пирамиды равна R плюс корень из (R в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби ) , а ее объем равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ABC h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка R плюс корень из (R в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби ) правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ( корень из (3) Rx в квадрате плюс корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) ).

Осталось найти наибольшее значение этой функции. Возьмем производную. Множитель  дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби не влияет на точку, где принимается наибольшее значение, его писать не будем. Получаем:

( корень из (3) Rx в квадрате плюс корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) )'=2xR корень из (3) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) конец дроби умножить на (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 )'=
= 2xR корень из (3) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) конец дроби умножить на (12R в квадрате x в кубе минус 6x в степени 5 ).

Найдем корни производной на отрезке x принадлежит [0;R корень из (3) ]:

2xR корень из (3) плюс дробь: числитель: 12R в квадрате x в кубе минус 6x в степени 5 , знаменатель: 2 корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) конец дроби =0 равносильно 4xR корень из (3) корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) плюс 12R в квадрате x в кубе минус 6x в степени 5 =0 равносильно

 равносильно 2R корень из (3) корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) плюс 6R в квадрате x в квадрате минус 3x в степени 4 =0 равносильно 2R корень из (3) корень из (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 ) =3x в степени 4 минус 6R в квадрате x в квадрате равносильно

 равносильно 12R в квадрате (3R в квадрате x в степени 4 минус x в степени 6 )=(3x в степени 4 минус 6R в квадрате x в квадрате ) в квадрате равносильно 36R в степени 4 x в степени 4 минус 12R в квадрате x в степени 6 =9x в степени 8 минус 36R в квадрате x в степени 6 плюс 36R в степени 4 x в степени 4 равносильно
 равносильно 0=9x в степени 8 минус 24R в квадрате x в степени 6 равносильно 9x в квадрате =24R в квадрате равносильно x= корень из ( дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ) R.

Значит, наибольшее значение эта функция принимает при x = 0, x= корень из ( дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ) R или x= корень из (3) R. Подставим их: V(0)=0,

V левая круглая скобка корень из ( дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ) R правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате плюс корень из (3R в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате правая круглая скобка в кубе ) правая круглая скобка =
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на корень из (3R в квадрате минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате ) правая круглая скобка = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R плюс корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате ) правая круглая скобка = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби левая круглая скобка корень из (3) R плюс дробь: числитель: R, знаменатель: корень из (3) конец дроби правая круглая скобка =
= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби R в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3R плюс R, знаменатель: корень из (3) конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из (3) конец дроби R в кубе = дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 корень из (3) конец дроби R в кубе = дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе ,

V( корень из (3) R)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ( корень из (3) R(3R в квадрате ) плюс корень из (3R в квадрате (3R в квадрате ) в квадрате минус (3R в квадрате ) в кубе ) )=V( корень из (3) R)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ( корень из (3) R(3R в квадрате ) плюс корень из (0) )= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби R в кубе .

Поскольку  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 27 конец дроби , наибольшее значение равно  дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .

 

Ответ:  дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .

 

Приведём другое решение.

Пусть S — вершина пирамиды, ABC — ее основание, O — центр сферы, O1 — центр правильного треугольника ABC. Ясно, что S лежит на прямой OO1, причем так, что O лежит между O1 и S (если это не так, заменим S на второй конец этого же диаметра, высота пирамиды увеличится, значит, и объем тоже). Обозначим OO_1=x, тогда h=R плюс x — высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника OO1C имеем

O_1C= корень из (OC в квадрате минус OO_1 в квадрате ) = корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) .

Cечение сферы плоскостью основания — описанная окружность правильного треугольника и поскольку ее радиус равен  корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) , то сторона треугольника равна

2 корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) умножить на синус 60 в степени (\circ) = корень из (3) корень из (R в квадрате минус x в квадрате ) .

Тогда объем пирамиды равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (R плюс x) умножить на дробь: числитель: корень из (3) корень из (R в квадрате минус x в квадрате в квадрате корень из (3) ) , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (R плюс x) умножить на дробь: числитель: 3(R в квадрате минус x в квадрате ) корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби =
= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби (R плюс x)(R в квадрате минус x в квадрате )= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби (R плюс x)(R плюс x)(R минус x)= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби h в квадрате (2R минус h).

Найдем теперь наибольшее значение функции h в квадрате (2R минус h). Возьмем ее производную:

(h в квадрате (2R минус h))'=(2Rh в квадрате минус h в кубе )'=4Rh минус 3h в квадрате =h(4R минус 3h),

поэтому производная отрицательна при h больше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби и положительна при h меньше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби . Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при h больше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби и возрастает при h меньше дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби , а наибольшее значение принимает в точке h= дробь: числитель: 4R, знаменатель: 3 конец дроби :

V_max= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 16R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .

Ответ:  дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 27 конец дроби R в кубе .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2186

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10