Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2188

Найдите все решения уравнения 5 косинус 2x плюс 4 косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус 1, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

5 косинус 2x плюс 4 умножить на дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 левая круглая скобка \tfrac3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс \tfracx2 правая круглая скобка 2= минус 1 равносильно 5 косинус 2x плюс 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = минус 1 равносильно

 равносильно 5 косинус 2x плюс 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка = минус 1 равносильно
 равносильно 5 косинус 2x плюс 2(1 плюс синус x)= минус 1 равносильно 5(1 минус 2 синус в квадрате x) плюс 2(1 плюс синус x)= минус 1.

Обозначим  синус x=t, тогда

5(1 минус 2t в квадрате ) плюс 2(1 плюс t)= минус 1 равносильно 5 минус 10t в квадрате плюс 2 плюс 2t= минус 1 равносильно 10t в квадрате минус 2t минус 8=0 равносильно

 равносильно 5t в квадрате минус t минус 4=0 равносильно (t минус 1)(5t плюс 4)=0 равносильно совокупность выражений t=1,t= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .

Сделав обратную замену, получаем

 совокупность выражений синус x=1, синус x= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= минус \arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи плюс \arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

Теперь выберем корни на промежутке  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Из первого набора подходит x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , из второго подходит x= минус \arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи , а из третьего x= Пи плюс \arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ответ: \left\ дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус \arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи ; Пи плюс \arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби :k принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2183

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10