Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2183
i

Най­ди­те все ре­ше­ния урав­не­ния 3 ко­си­нус 2x плюс 4 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

3 ко­си­нус 2x плюс 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка \dfrac Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс \dfracx2 пра­вая круг­лая скоб­ка 2=1 рав­но­силь­но 3 ко­си­нус 2x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 3 ко­си­нус 2x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 3 ко­си­нус 2x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но 3 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Обо­зна­чим  синус x=t, тогда

3 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но 3 минус 6t в квад­ра­те плюс 2 плюс 2t=1 рав­но­силь­но 6t в квад­ра­те минус 2t минус 4=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 3t в квад­ра­те минус t минус 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Сде­лав об­рат­ную за­ме­ну, по­лу­ча­ем:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x=1, синус x= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Те­перь вы­бе­рем корни на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Из пер­во­го на­бо­ра под­хо­дит x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , из вто­ро­го под­хо­дит x=2 Пи минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а из тре­тье­го x= Пи плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 Пи минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; Пи плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2188

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1983 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10