№ 2171 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 19. Применение производной к задачам оптимизации в геометрии
i
Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен
Под каким углом должна быть наклонена к основанию пирамиды её боковая грань, чтобы расстояние от центра основания пирамиды до боковой грани было наибольшим?
Спрятать решениеРешение. 
Пусть S — вершина пирамиды, O — центр основания ABCD, M — середина AB. Пусть сторона основания пирамиды равна 2x, а высота равна h, тогда по условию

Расстояние от O до грани SAB перпендикуляр, опущенный из O на SM (он также перпендикулярен AB, поскольку его проекция OM перпендикулярна AB, поэтому он перпендикулярен двум пересекающимся прямым в SAB). Это высота прямоугольного треугольника SOM, поэтому оно равно



Нужно найти наибольшее значение этой дроби. Для этого ее знаменатель (а значит и подкоренное выражение) нужно сделать как можно меньше. Возьмем производную:

что положительно при
и отрицательно при
поэтому функция
возрастает при
и убывает при
принимая наибольшее значение при
Тогда

Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2166