Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2171
i

Объём пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равен  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Под каким углом долж­на быть на­кло­не­на к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды её бо­ко­вая грань, чтобы рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды до бо­ко­вой грани было наи­боль­шим?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, O  — центр ос­но­ва­ния ABCD, M  — се­ре­ди­на AB. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 2x, а вы­со­та равна h, тогда по усло­вию

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби h левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но hx в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби .

Рас­сто­я­ние от O до грани SAB пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из O на SM (он также пер­пен­ди­ку­ля­рен AB, по­сколь­ку его про­ек­ция OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му он пер­пен­ди­ку­ля­рен двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым в SAB). Это вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOM, по­это­му оно равно

 дробь: чис­ли­тель: 2S_SOM, зна­ме­на­тель: SM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SO умно­жить на OM, зна­ме­на­тель: SM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби умно­жить на x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO в квад­ра­те плюс OM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac1x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби плюс x в сте­пе­ни 4 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние этой дроби. Для этого ее зна­ме­на­тель (а зна­чит и под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние) нужно сде­лать как можно мень­ше. Возь­мем про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби плюс x в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка '= минус 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4x в кубе = дробь: чис­ли­тель: 4x в сте­пе­ни 6 минус 2, зна­ме­на­тель: 4x в кубе конец дроби ,

что по­ло­жи­тель­но при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби и от­ри­ца­тель­но при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , по­это­му функ­ция  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби плюс x в сте­пе­ни 4 воз­рас­та­ет при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби и убы­ва­ет при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , при­ни­мая наи­боль­шее зна­че­ние при x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Тогда

 тан­генс \angle левая круг­лая скоб­ка ASB,ABCD пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс \angle SMO= дробь: чис­ли­тель: SO, зна­ме­на­тель: OM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби , зна­ме­на­тель: x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в кубе конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ответ:  арк­тан­генс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2166

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1982 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10