Дан многочлен 
z — комплексное число.
а) Решите уравнение p(z) = 2.
б) Найдите сумму квадратов всех корней уравнения p(z) = 2002.
в) Найдите все действительные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c не превосходят 1.
г) Существуют ли такие комплексные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c равны 1?
а) Преобразуем уравнение
Очевидно, у него есть корень 
поэтому можно выделить множитель 
Значит, либо либо
Ответ 
б) Обозначим эти корни за 
По теореме Виета для уравнения 
получаем 
применять теорему Виета можно, поскольку в комплексных числах любой многочлен имеет ровно столько корней, какова его степень (с учетом кратности).
в) Для начала исследуем функцию 
при вещественных z. Ее производная равна 
поэтому производная отрицательна при 
и положительна при 
и при 
Значит, функция возрастает до 
причем
потом убывает до 
причем 
и затем возрастает. Ее примерный график показан на рисунке (см. рис.) и из него видно, что при 
уравнение 
имеет три вещественных корня (на концах промежутка — с учетом кратности) и все они лежат на отрезке 
поэтому условие выполняется.
Отметим сразу, что при 
кроме 
в уравнение годится 
При 
уравнение имеет один вещественный корень, причем из того же графика видно, что он меньше −1, поэтому условие не выполняется уже для него. При 
уравнение имеет ровно один вещественный корень. Он становится больше 1 при 
так что осталось разобраться со случаем 
Обозначим вещественный корень за x, то есть 
и запишем уравнение в виде 
Преобразуем его
Корень первой скобки это x нас не интересует. Вторая скобка дает уравнение 
Оно не имеет вещественных корней (у исходного уравнения был лишь один вещественный корень), а его комплексные корни сопряжены. Значит, они равны по модулю. С другой стороны, модуль их произведения равен 
поэтому модуль каждого из них равен 
Получаем неравенство 
откуда
Учитывая условие 
и 
(чтобы получался один вещественный корень) получаем 
Поскольку функция 
возрастает при 
осталось только вычислить ее значение при 
Сделаем это, учитывая что 
Окончательно, 
г) Рассмотрим уравнение 
Поскольку произведение его корней равно c по теореме Виета и модули всех корней должны быть равны 1, то и 
Запишем z и c в тригонометрической форме. Пусть 
Значит, система тригонометрических уравнений
должна иметь три решения при 
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. Получим:
Итак, для любого решения этой системы выполнено также уравнение 
Но оно имеет лишь два решения на промежутке 
значит, исходное уравнение будет иметь не более двух решений, равных по модулю единице. Ответ нет, это невозможно.
Ответ: 
г) нет, не существуют.
----------
Дублирует задание 2143.
-------------
Дублирует задание № 2143.Спрятать критерии