Ре­ше­ние. а)  Пусть Число тогда и толь­ко тогда, когда z — гаус­со­во, но

по­это­му тогда и толь­ко тогда, когда числа и де­лят­ся на 5.

б)  По­сколь­ку то можно за­пи­сать:

По­сколь­ку то так что Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

в)  Пред­по­ло­жим, что тре­бу­е­мые числа u и v су­ще­ству­ют. Рас­смот­рим число за­ме­тим, что, по­сколь­ку числа u и v гаус­со­вы, т. е. их ве­ще­ствен­ные и мни­мые части  — целые числа, то числа a и b ра­ци­о­наль­ны. По­это­му число тоже ра­ци­о­наль­но. С дру­гой сто­ро­ны, если то

так как число ра­ци­о­наль­но, а число ир­ра­ци­о­наль­но, то  — ир­ра­ци­о­наль­ное число, но оно, оче­вид­но, равно т. е. ра­ци­о­наль­но. Про­ти­во­ре­чие.

г)  Числа имеют вид

По­это­му со­во­куп­ность всех чисел w — это мно­же­ство узлов решётки, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. Любое число z ока­зы­ва­ет­ся, таким об­ра­зом, внут­ри или на сто­ро­нах ка­ко­го-то квад­ра­та со сто­ро­ной длины вер­ши­ны ко­то­ро­го  — числа из мно­же­ства K. По­нят­но, что можно огра­ни­чить­ся рас­смот­ре­ни­ем гаус­со­вых чисел, ле­жа­щих внут­ри или на сто­ро­нах квад­ра­та OABC, где A — со­от­вет­ству­ет числу B — числу C — числу (осталь­ные слу­чаи можно све­сти к этому со­от­вет­ству­ю­щим па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом). Но для этих чисел (это числа 0, i, 2i, ) оче­вид­но, что рас­сто­я­ние от них до бли­жай­шей из вер­шин квад­ра­та OABC не пре­вос­хо­дит 1.

Ответ: а) 4; 9; 14; 19; в) таких чисел не су­ще­ству­ет.