а)  Сде­лав за­ме­ну мы по­лу­чим, что более фор­маль­но: где Дан­ная за­ме­на при­во­дит урав­не­ние пунк­та а) за­да­чи к виду или По­сколь­ку, как не­труд­но ви­деть,

б)  Про­де­лав ана­ло­гич­ные пре­об­ра­зо­ва­ния, мы при­дем к не­ра­вен­ству

от­ку­да

При ре­ше­нии за­да­ний пунк­тов в-г) удоб­но вос­поль­зо­вать­ся гра­фи­че­ской ин­тер­пре­та­ци­ей урав­не­ния для чего сле­ду­ет по­стро­ить гра­фик функ­ции g. Вна­ча­ле по­про­бу­ем обой­тись без вы­чис­ле­ний. Из фор­му­лы ясно, что

а при боль­ших зна­че­ни­ях гра­фик ис­ко­мой функ­ции бли­зок к гра­фи­ку про­стой квад­ра­тич­ной функ­ции. Таким об­ра­зом, по­хо­же, что гра­фик функ­ции g имеет такой вид, как это по­ка­за­но на рис. 213. Для того, чтобы в этом убе­дить­ся и за­од­но найти про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти и точку ми­ни­му­ма функ­ции g, по­сту­пим стан­дарт­ным об­ра­зом. По­сколь­ку

то при и при Зна­чит, функ­ция g воз­рас­та­ет на луче и убы­ва­ет на каж­дом из про­ме­жут­ков и Точка A (см. рис.) имеет ко­ор­ди­на­ты Кста­ти, из от­ве­та к за­да­нию пунк­та а) сле­ду­ет, что ка­са­тель­ная к гра­фи­ку в точке A имеет с этим гра­фи­ком еще одну точку пе­ре­се­че­ния  —

в)  Как и выше, сде­ла­ем за­ме­ну и по­ло­жим до­пол­ни­тель­но Из гра­фи­ка функ­ции g ясно, что урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (а, зна­чит, имеет един­ствен­ное ре­ше­ние и урав­не­ние ) при т. е. Снова об­ра­тив­шись к изоб­ра­жен­но­му на ри­сун­ке гра­фи­ку функ­ции g, по­лу­ча­ем, что

Дру­гой спо­соб ре­ше­ния этой за­да­чи свя­зан с пря­мым ис­сле­до­ва­ни­ем (сво­дя­ще­го­ся к ку­би­че­ско­му) урав­не­ния ко­то­рое, оче­вид­но, имеет ре­ше­ние По­де­лив на по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние, ко­то­рое по усло­вию или не имеет ре­ше­ний, или же имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (по­след­ний слу­чай в дей­стви­тель­но­сти не­воз­мо­жен).

г)  Та же за­ме­на сво­дит урав­не­ние к виду из ко­то­ро­го при по­мо­щи пря­мых пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем урав­не­ние Вся­кое ку­би­че­ское урав­не­ние имеет по край­ней мере один дей­стви­тель­ный ко­рень. Оста­лось по­ка­зать, что в дан­ном слу­чае он дей­стви­тель­но один, что опять-таки легче сде­лать при по­мо­щи ис­сле­до­ва­ния функ­ции (Кста­ти, удоб­но сде­лать до­пол­ни­тель­ную за­ме­ну после чего по­лу­ча­ем )

Ответ: а) б) в) г) один ко­рень.