PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
г) Определите число корней уравнения 
Решение. а) Сделав замену 
мы получим, что 
более формально: 
где 
Данная замена приводит уравнение пункта а) задачи к виду 
или 
Поскольку, как нетрудно видеть,
б) Проделав аналогичные преобразования, мы придем к неравенству
откуда 
При решении заданий пунктов в-г) удобно воспользоваться графической интерпретацией уравнения 
для чего следует построить график функции g. Вначале попробуем обойтись без вычислений. Из формулы 
ясно, что
а при больших значениях 
график искомой функции близок к графику простой квадратичной функции. Таким образом, похоже, что график функции g имеет такой вид, как это показано на рис. 213. Для того, чтобы в этом убедиться и заодно найти промежутки монотонности и точку минимума функции g, поступим стандартным образом. Поскольку
то 
при 
и 
при 
Значит, функция g возрастает на луче 
и убывает на каждом из промежутков 
и 
Точка A (см. рис.) имеет координаты 
Кстати, из ответа к заданию пункта а) следует, что касательная 
к графику в точке A имеет с этим графиком еще одну точку пересечения — 
в) Как и выше, сделаем замену 
и положим дополнительно 
Из графика функции g ясно, что уравнение 
имеет единственное решение (а, значит, имеет единственное решение и уравнение 
) при 
т. е. 
Снова обратившись к изображенному на рисунке графику функции g, получаем, 
Другой способ решения этой задачи связан с прямым исследованием (сводящегося к кубическому) уравнения 
которое, очевидно, имеет решение 
Поделив на 
получим квадратное уравнение, которое по условию или не имеет решений, или же имеет единственное решение 
(последний случай в действительности невозможен).
г) Та же замена сводит уравнение 
к виду 
из которого при помощи прямых преобразований получаем уравнение 
Всякое кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень. Осталось показать, что в данном случае он действительно один, что опять-таки легче сделать при помощи исследования функции 
(Кстати, удобно сделать дополнительную замену 
после чего получаем 
)
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) один корень.
б) в) г) один корень. б) в) г) один корень.