РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2022

4.  Пусть a, b, c  — длины некоторых отрезков.

а)  Докажите, что если $a=\root 6 \of2,$ $b=\root 6\of 3,$ $c=\root 6 \of 7,$ то треугольник, который можно составить из этих отрезков, остроугольный.

б)  Выясните, существует ли треугольник со сторонами $a=19 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка ,$ $b=20 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка ,$ $c=21 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка .$

в)  Докажите, что если для любого натурального числа n существует треугольник со сторонами a^n, b^n, c^n, то все эти треугольники равнобедренные.

г)  Пусть $\varphi_n$   — угол треугольника со сторонами $a=1,$ $b=\root n \of2,$ $c=\root n \of4$ ( $n\geqslant}2$ ), лежащий против средней из них. Докажите, что последовательность $левая фигурная скобка \varphi_n правая фигурная скобка$ монотонна, и вычислите ее предел.

Спрятать решение

Решение.

а)  Имеем: $c в квадрате =\root 3\of7 меньше a в квадрате плюс b в квадрате =\root 3\of2 плюс \root 3\of3,$ так как $\root 3\of7 меньше 2 меньше \root 3\of2 плюс \root 3\of3.$

б)  Имеем:

$21 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка =20 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 20 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка больше 20 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка умножить на 2$ (неравенство Бернулли) $больше 20 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка плюс 19 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка .$

в)  Пусть $a\geqslant} b\geqslant} c.$ Если $a не равно b,$ то

$\lim\limits_n\to бесконечность дробь: числитель: a в степени n , знаменатель: b в степени n плюс c в степени n конец дроби = \lim дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка в степени n , знаменатель: 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка в степени n конец дроби = плюс бесконечность ,$

в частности, $a в степени n больше b в степени n плюс c в степени n ,$ начиная с некоторого номера k, что противоречит неравенству треугольника.

г)  Так как

$косинус \varphi_n= дробь: числитель: a в квадрате плюс c в квадрате минус b в квадрате , знаменатель: 2ac конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс \root n\of16 минус \root n\of4, знаменатель: 2\root n\of4 конец дроби \to дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

при $n\to бесконечность ,$ то $\varphi_n\to дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Далее, положив $t=\root n\of4 больше 1,$ получим, что $косинус \varphi_n= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t минус 1 правая круглая скобка$   — монотонная на $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$ функция.

Ответ: б) нет, не существует.

----------

Дублирует задание 2017.

-------------
Дублирует задание № 2017.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

? Источники:

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 2;

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1.

? Классификатор: Доказательство тождеств, неравенств

Сложность: 11 из 10

Источник: сайт Решу урок  —  выпускные экзамены по математике, задание № 2017.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь