Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1955
i

3.Б. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 12x в квад­ра­те минус 4x в кубе .

а)  Най­ди­те для дан­ной функ­ции пер­во­об­раз­ную F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , гра­фик ко­то­рой про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат.

б)  Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти най­ден­ной пер­во­об­раз­ной y=F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  По­строй­те гра­фик най­ден­ной пер­во­об­раз­ной y=F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и ка­са­тель­ную к нему в его точке с абс­цис­сой x_0=0.

г)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y=F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и осью абс­цисс.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Любая пер­во­об­раз­ная дан­ной функ­ции имеет вид минус 4x в кубе минус x в сте­пе­ни 4 плюс C. При этом при x=0 по­лу­ча­ет­ся зна­че­ние C. Чтобы гра­фик про­хо­дил через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, нужно взять C=0. Итак, F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4x в кубе минус x в сте­пе­ни 4 .

б)  По­сколь­ку

F' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 12x в квад­ра­те минус 4x в кубе = минус 4x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

то про­из­вод­ная F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка от­ри­ца­тель­на при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка и по­ло­жи­тель­на при x мень­ше минус 3. Зна­чит, F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . По­след­ние два про­ме­жут­ка можно объ­еди­нить в x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Из преды­ду­ще­го пунк­та сле­ду­ет, что −3  — точка мак­си­му­ма F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и F левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =27. Кроме того, \lim\limits_xarrow \pm бес­ко­неч­ность F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус бес­ко­неч­ность .

Най­дем еще корни F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка :

минус 4x в кубе минус x в сте­пе­ни 4 =0 рав­но­силь­но минус x в кубе левая круг­лая скоб­ка 4 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x= минус 4. конец со­во­куп­но­сти .

Это поз­во­ля­ет по­стро­ить гра­фик (см. ри­су­нок). Те­перь най­дем урав­не­ние ка­са­тель­ной. По­сколь­ку F левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =F' левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, урав­не­ние ка­са­тель­ной будет y=0 левая круг­лая скоб­ка x минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 0, то есть y=0.

г)  Как сле­ду­ет из ис­сле­до­ва­ния и гра­фи­ка пунк­та в, гра­фик лежит выше оси абс­цисс при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му ис­ко­мая пло­щадь равна

при­над­ле­жит t\limits_ минус 4 в сте­пе­ни 0 F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx=\dvpod минус x в сте­пе­ни 4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в сте­пе­ни 5 минус 40=0 минус левая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 5 пра­вая круг­лая скоб­ка =
=256 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 1024=256 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =256 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = целая часть: 51, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5

 

Ответ: а) F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4x в кубе минус x в сте­пе­ни 4 ; б) функ­ция F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) см. рис.; г) целая часть: 51, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1950

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1999 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025