PDF-версии: 
3.Б. Дана функция 
а) Найдите для данной функции первообразную 
график которой проходит через начало координат.
б) Найдите промежутки монотонности найденной первообразной 
в) Постройте график найденной первообразной 
и касательную к нему в его точке с абсциссой 
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс.
Решение. а) Любая первообразная данной функции имеет вид 
При этом при 
получается значение C. Чтобы график проходил через начало координат, нужно взять 
Итак, 
б) Поскольку
то производная 
отрицательна при 
и положительна 
возрастает при 
и убывает при 
и при 
Последние два промежутка можно объединить 
в) Из предыдущего пункта следует, что −3 — точка максимума
и 
Кроме того, 
Найдем еще корни 
Это позволяет построить график (см. рисунок). Теперь найдем уравнение касательной. Поскольку 
уравнение касательной будет 
то есть 
г) Как следует из исследования и графика пункта в, график лежит выше оси абсцисс при 
поэтому искомая площадь равна
Ответ: а) 
б) функция возрастает при и убывает при 
в) см. рис.; 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) функция возрастает при и убывает при в) см. рис.; б) функция возрастает при и убывает при в) см. рис.;